Cartan 矩阵

Cartan 矩阵是一个方阵整数矩阵，其元素 满足以下条件。

1. 是一个整数，是 中的一个。

2. 对角线元素都为 2。

3. 非对角线上。

4. 当且仅当 。

5. 存在一个对角矩阵 使得 给出对称和正定二次型。

Cartan 矩阵可以与半单李代数 相关联。它是一个 方阵，其中 是 的李代数秩。李代数单根是基向量，并且 由它们的内积决定，使用 Killing 型。

(1)

实际上，它更像是一个值表，而不是一个矩阵。通过重新排序基向量，可以得到另一个 Cartan 矩阵，但它被认为与原始 Cartan 矩阵等价。

李代数 可以通过 个生成元 重构，直到同构，这些生成元满足 Chevalley-Serre 关系。实际上，

(2)

其中 是由相同字母的生成元生成的李子代数。

例如，

(3)

是一个 Cartan 矩阵。李代数 有六个生成元 。它们满足以下关系。

1. .

2. 和 而 。

3. .

4. .

5. 和 。

6. 和 。

从这些关系中，不难看出 与标准的李代数表示

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

此外，Weyl 群可以直接从 Cartan 矩阵构建，其中它的行决定了对单根的反射。