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矩阵的逆

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一个方阵 A 的逆矩阵，有时也称为倒数矩阵，是一个矩阵 A^(-1) 使得

AA^(-1)=I,
(1)

其中 I 是单位矩阵。 Courant 和 Hilbert (1989, p. 10) 使用符号 A^_ 来表示逆矩阵。

一个方阵 A 有逆矩阵当且仅当行列式 |A|!=0 （Lipschutz 1991, p. 45）。 所谓的可逆矩阵定理是线性代数中的一个重要结果，它将矩阵逆的存在性与许多其他等价性质联系起来。 拥有逆矩阵的矩阵被称为非奇异矩阵或可逆矩阵。

一个方阵 m 的矩阵逆可以使用 Wolfram 语言中的函数Inverse[m]。

对于一个 2×2 矩阵

A=[a b; c d],
(2)

矩阵的逆是

A^(-1)=1/(|A|)[d -b; -c a]
(3)
=1/(ad-bc)[d -b; -c a].
(4)

对于一个 3×3 矩阵

A=[a_(11) a_(12) a_(13); a_(21) a_(22) a_(23); a_(31) a_(32) a_(33)],
(5)

矩阵的逆是

A^(-1)=1/(|A|)[|a_(22) a_(23); a_(32) a_(33)| |a_(13) a_(12); a_(33) a_(32)| |a_(12) a_(13); a_(22) a_(23)|; ; |a_(23) a_(21); a_(33) a_(31)| |a_(11) a_(13); a_(31) a_(33)| |a_(13) a_(11); a_(23) a_(21)|; ; |a_(21) a_(22); a_(31) a_(32)| |a_(12) a_(11); a_(32) a_(31)| |a_(11) a_(12); a_(21) a_(22)|].
(6)

一个一般的 n×n 矩阵可以使用诸如高斯-约旦消元法、高斯消元法或 LU 分解等方法求逆。

矩阵 A 和 B 的乘积 AB 的逆矩阵可以用 A^(-1) 和 B^(-1) 表示。 设

C=AB.
(7)

则

B=A^(-1)AB=A^(-1)C
(8)

且

A=ABB^(-1)=CB^(-1).
(9)

因此，

C=AB=(CB^(-1))(A^(-1)C)=CB^(-1)A^(-1)C,
(10)

所以

CB^(-1)A^(-1)=I,
(11)

其中 I 是单位矩阵，且

B^(-1)A^(-1)=C^(-1)=(AB)^(-1).
(12)

另请参阅

德拉辛逆矩阵, 高斯-约旦消元法, 高斯消元法, LU 分解, 矩阵, 矩阵 1-逆, 矩阵加法, 矩阵乘法, 穆尔-彭若斯矩阵逆, 非奇异矩阵, 伪逆, 奇异矩阵, Strassen 公式 在 MathWorld 课堂中探索此主题

本条目的部分内容由 Christopher Stover 贡献

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参考文献

Ayres, F. Jr. 矩阵理论与问题 Schaum 纲要。 New York: Schaum, p. 11, 1962.Ben-Israel, A. and Greville, T. N. E. 广义逆：理论与应用。 New York: Wiley, 1977.Courant, R. and Hilbert, D. 数学物理方法，卷 1。 New York: Wiley, 1989.Jodár, L.; Law, A. G.; Rezazadeh, A.; Watson, J. H.; and Wu, G. "穆尔-彭若斯逆和其他广义逆的计算。" Congress. Numer. 80, 57-64, 1991.Lipschutz, S. "可逆矩阵。" 线性代数理论与问题 Schaum 纲要，第二版。 New York: McGraw-Hill, pp. 44-45, 1991.Nash, J. C. 计算机紧凑数值方法：线性代数与函数最小化，第二版。 Bristol, England: Adam Hilger, pp. 24-26, 1990.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "矩阵求逆是一个 N^3 过程吗？" §2.11 in Fortran 数值食谱：科学计算的艺术，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 95-98, 1992.Rosser, J. B. "一种计算整数系数矩阵精确逆的方法。" J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B. 49, 349-358, 1952.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

矩阵的逆

引用为

Stover, Christopher 和 Weisstein, Eric W. “矩阵的逆。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MatrixInverse.html

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