正定矩阵

一个 复矩阵 被称为正定矩阵，如果

(1)

对于所有非零复向量 ，其中 表示 共轭转置，向量 的共轭转置。 在 实矩阵 的情况下，方程 (1) 简化为

(2)

其中 表示 转置。 正定矩阵在各种应用中都具有理论和计算上的重要性。 例如，它们被用于优化算法和各种 线性回归 模型的构建中 (Johnson 1970)。

可以使用 Wolfram 语言 测试矩阵 是否为正定矩阵，使用PositiveDefiniteMatrixQ[m].

具有正定矩阵的线性方程组可以使用所谓的 Cholesky 分解 有效地求解。 正定矩阵至少有一个矩阵平方根。 此外，其矩阵平方根中恰好有一个本身是正定的。

一个 复矩阵 为正定矩阵的必要和充分条件是其 Hermitian 部分

(3)

其中 表示 共轭转置，为正定矩阵。 这意味着 实矩阵 是正定矩阵当且仅当其 对称部分

(4)

其中 是转置，为正定矩阵 (Johnson 1970)。

容易混淆的是，正定矩阵的讨论通常仅限于 Hermitian 矩阵，或者在实矩阵的情况下仅限于对称矩阵（Pease 1965, Johnson 1970, Marcus and Minc 1988, p. 182; Marcus and Minc 1992, p. 69; Golub and Van Loan 1996, p. 140）。 Hermitian（或对称）矩阵是正定矩阵当且仅当其所有特征值均为正数。 因此，一般的复（或实）矩阵是正定的，当且仅当其 Hermitian（或对称）部分具有所有正特征值。

正定矩阵的行列式始终为正数，因此正定矩阵始终是非奇异的。

如果 和 是正定矩阵，则 也是正定矩阵。 正定矩阵的矩阵逆也是正定的。

正定性的定义等价于要求与所有左上子矩阵相关的行列式都是正数。

以下是 Hermitian 矩阵 （根据定义，它具有实对角元素 ）为正定矩阵的必要（但非充分）条件。

1. 对于所有 ，

2. 对于 ，

3. 绝对值最大的元素位于主对角线上，

4. .

这里， 是 的实部，并且 Gradshteyn 和 Ryzhik (2000, p. 1063) 中的一个排版错误已在项目 (ii) 中更正。

一个 实 对称矩阵 是正定的 当且仅当 存在一个 实 非奇异矩阵 使得

(5)

其中 是转置 (Ayres 1962, p. 134)。 特别是，一个 对称矩阵

(6)

是正定的，如果

(7)

对于所有 。

给定类型的正定 矩阵的数量总结在下表中。 例如，三个正定 (0,1)-矩阵 是

(8)

所有这些矩阵的特征值都为 1，且简并度为 2。