反对称矩阵

反对称矩阵，也称为斜对称或反度量矩阵，是一个方阵，它满足以下恒等式

其中 是矩阵的转置。 例如，

是反对称的。

可以使用 Wolfram 语言测试矩阵 是否为反对称矩阵，使用AntisymmetricMatrixQ[m]。

在分量表示法中，这变为

令 ，要求变为

因此，反对称矩阵的对角线上必须为零。 一般的 反对称矩阵是以下形式

对反对称条件的两边应用 得到

任何方阵都可以表示为对称和反对称部分之和。 写成

但是

所以

这是对称的，并且

这是反对称的。

所有奇数维的 反对称矩阵都是奇异的。 这源于以下事实：

因此，根据行列式的性质，

因此，如果 是奇数，则

因此证明了所有奇数维的反对称矩阵都是奇异的。

反对称矩阵的集合表示为 。 是一个向量空间，并且两个反对称矩阵的交换子

是反对称的。 因此，反对称矩阵是李代数，它与正交矩阵的李群相关。 特别地，假设 是通过 的正交矩阵路径，即对于所有 。 两边的 导数 在 处必须相等，因此 。 也就是说， 在单位矩阵处的导数必须是反对称矩阵。

反对称矩阵的指数映射是一个正交矩阵。