矩阵方程

非齐次矩阵方程 形式为

(1)

可以通过取矩阵逆来求解，得到

(2)

当且仅当当且仅当行列式 不等于 0 时，此方程有非平凡解。一般来说，更数值稳定的方程求解技术包括高斯消元法、LU 分解或平方根法。

对于齐次 矩阵 方程

(3)

为了求解 s，考虑行列式

(4)

现在乘以 ，这等价于将第一列（或任何列）乘以 ,

(5)

如果将列的倍数加到其他列，行列式的值不变。 因此，将第 2 列乘以 ，...，将第 列乘以 加到第一列，得到

(6)

但是从原始矩阵中，第一列中的每个条目都为零，因为

(7)

所以

(8)

因此，如果存在一个非零解 ，则行列式为零。 这对于 , ..., 也是如此，因此，仅当行列式为 0 时，原始齐次系统才对所有 s 有非平凡解。 这种方法是克莱姆法则的基础。

给定矩阵方程的数值解，可以使用以下技术迭代改进解。 假设数值获得的解为

(9)

是 ，其中 是误差项。 因此，第一个解给出

(10)

(11)

其中 通过求解 (10) 得到

(12)

结合 (11) 和 (12) 然后得到

(13)