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狄拉克矩阵

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狄拉克矩阵是一类 4×4 矩阵，它出现在量子电动力学中。 有许多不同的符号被使用，狄拉克矩阵也被称为伽马矩阵或狄拉克伽马矩阵。

狄拉克矩阵 alpha_n 可能会在未来版本的 Wolfram 语言 中实现为DiracGammaMatrix[n]，其中 n=1、2、3、4 或 5。

狄拉克矩阵定义为 4×4 矩阵

sigma_i=I_2 tensor sigma_i^((P))
(1)
rho_i=sigma_i^((P)) tensor I_2,
(2)

其中 sigma_i^((P)) 是 (2×2) 泡利矩阵，I_2 是 2×2 单位矩阵，i=1、2、3，并且 A tensor B 是 克罗内克积。 显式地，这组狄拉克矩阵由下式给出

I=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]
(3)
sigma_1=[0 1 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 1 0]
(4)
sigma_2=[0 -i 0 0; i 0 0 0; 0 0 0 -i; 0 0 i 0]
(5)
sigma_3=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 -1]
(6)
rho_1=[0 0 1 0; 0 0 0 1; 1 0 0 0; 0 1 0 0]
(7)
rho_2=[0 0 -i 0; 0 0 0 -i; i 0 0 0; 0 i 0 0]
(8)
rho_3=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 -1].
(9)

这些矩阵满足反对易关系

sigma_isigma_j+sigma_jsigma_i=2delta_(ij)I
(10)
rho_irho_j+rho_jrho_i=2delta_(ij)I,
(11)

其中 delta_(ij) 是 克罗内克 delta，交换关系

[sigma_i,rho_j]=sigma_irho_j-rho_jsigma_i=0,
(12)

并且在索引排列下是循环的

sigma_isigma_j=isigma_k
(13)
rho_irho_j=irho_k.
(14)

总共可以定义 16 个狄拉克矩阵，通过

E_(ij)=rho_isigma_j
(15)

对于 i,j=0、1、2、3，其中 sigma_0=rho_0=I (Arfken 1985, p. 212)。 这些矩阵满足

1. |E_(ij)|=1，其中 |A| 是行列式，

2. E_(ij)^2=I,

3. E_(ij)=E_(ij)^(H)，其中 A^(H) 表示 共轭转置，使其成为厄米矩阵，因此也是酉矩阵，

4. Tr(E_(ij))=0，除了 Tr(E_(00))=4，

5. 任意两个 E_(ij) 相乘在一起，在 -1 或 +/-i 的乘法因子内，都会产生一个狄拉克矩阵，

6. E_(ij) 是线性独立的，

7. E_(ij) 构成一个完备集，即，任何 4×4 常数矩阵都可以写成

A=sum_(i,j=0)^3c_(ij)E_(ij),
(16)

其中 c_(ij) 是实数或复数，由下式给出

c_(mn)=1/4Tr(AE_(mn))
(17)

(Arfken 1985)。

狄拉克的原始矩阵写为 alpha_i，并由下式定义

alpha_i=E_(1i)=rho_1sigma_i
(18)
alpha_4=E_(30)=rho_3,
(19)

对于 i=1、2、3，给出

alpha_1=E_(11)=[0 0 0 1; 0 0 1 0; 0 1 0 0; 1 0 0 0]
(20)
alpha_2=E_(12)=[0 0 0 -i; 0 0 i 0; 0 -i 0 0; i 0 0 0]
(21)
alpha_3=E_(13)=[0 0 1 0; 0 0 0 -1; 1 0 0 0; 0 -1 0 0]
(22)
alpha_4=E_(30)=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 -1].
(23)

符号 beta=alpha_4 有时也使用 (Bjorken and Drell 1964, p. 8; Berestetskii et al. 1982, p. 78)。 附加矩阵

alpha_5=E_(20)=rho_2=[0 0 -i 0; 0 0 0 -i; i 0 0 0; 0 i 0 0]
(24)

有时被定义。

一组密切相关的狄拉克矩阵由下式定义

gamma_i=[0 sigma_i; -sigma_i 0]
(25)
gamma_4=[I 0; 2I -I]
(26)

对于 i=1、2、3 (Goldstein 1980)。 通常使用 gamma_0 而不是 gamma_4。 不幸的是，对于它的定义，有两种不同的约定，“手征基”

gamma_0=[0 I; I 0],
(27)

和“狄拉克基”

gamma_0=[I 0; 0 -I]
(28)

(Griffiths 1987, p. 216)。

其他一些狄拉克矩阵集有时定义为

y_i=E_(2i)
(29)
y_4=E_(30)
(30)
y_5=-E_(10)
(31)

和

delta_i=E_(3i)
(32)

对于 i=1、2、3 (Arfken 1985)。

15 个狄拉克矩阵中的任何一个（不包括单位矩阵）都与八个狄拉克矩阵对易，并与另外八个狄拉克矩阵反对易。 令 M=1/2(1+E_(ij))，则

M^2=M
(33)

(Arfken 1985, p. 216)。 此外

[alpha_1; alpha_2; alpha_3]×[alpha_1; alpha_2; alpha_3]=2isigma.
(34)

alpha_i 和 y_i 的乘积满足

alpha_1alpha_2alpha_3alpha_4alpha_5=1
(35)
y_1y_2y_3y_4y_5=1.
(36)

16 个狄拉克矩阵形成六个反对易集，每个集合包含五个矩阵 (Arfken 1985, p. 214)

1. alpha_1, alpha_2, alpha_3, alpha_4, alpha_5,

2. y_1, y_2, y_3, y_4, y_5,

3. delta_1, delta_2, delta_3, rho_1, rho_2,

4. alpha_1, y_1, delta_1, sigma_2, sigma_3,

5. alpha_2, y_2, delta_2, sigma_1, sigma_3,

6. alpha_3, y_3, delta_3, sigma_1, sigma_2.

另请参阅

泡利矩阵

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 211-217, 1985.Berestetskii, V. B.; Lifshitz, E. M.; and Pitaevskii, L. P. "Algebra of Dirac Matrices." §22 in Quantum Electrodynamics, 2nd ed. Oxford, England: Pergamon Press, pp. 80-84, 1982.Bethe, H. A. and Salpeter, E. Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms. New York: Plenum, pp. 47-48, 1977.Bjorken, J. D. and Drell, S. D. Relativistic Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill, 1964.Dirac, P. A. M. Principles of Quantum Mechanics, 4th ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1982.Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 580, 1980.Good, R. H. Jr. "Properties of Dirac Matrices." Rev. Mod. Phys. 27, 187-211, 1955.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

狄拉克矩阵

引用为

Weisstein, Eric W. “狄拉克矩阵。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DiracMatrices.html

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