矩阵乘法

两个矩阵 和 的乘积 定义为

(1)

其中对 求和， 的值取所有可能值，上面的符号使用了 爱因斯坦求和 约定。在没有显式求和符号的情况下，对重复索引的隐含求和称为 爱因斯坦求和，在矩阵和张量分析中都很常用。因此，为了定义矩阵乘法，矩阵的维度必须满足

(2)

其中 表示一个具有 行和 列的矩阵。显式地写出乘积，

(3)

其中

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			(11)
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矩阵乘法是结合律的，可以通过以下方式看出

(13)

其中再次使用了爱因斯坦求和。现在，由于 、 和 是标量，使用标量乘法的结合律来写

(14)

由于这对所有 和 都成立，因此必定有

(15)

也就是说，矩阵乘法是结合律的。因此，方程 (13) 可以写成

(16)

没有歧义。由于结合律，矩阵在乘法下形成一个半群。

矩阵乘法也是分配律的。如果 和 是 矩阵，并且 和 是 矩阵，则

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			(18)

由于 矩阵在加法下形成一个阿贝尔群， 矩阵形成一个环。

然而，矩阵乘法通常不是交换律的（尽管如果 和 是对角矩阵且维度相同，则是交换律的）。

两个分块矩阵的乘积是通过乘以每个分块给出的

(19)