特征向量

特征向量是与线性方程组（即矩阵方程）相关联的一组特殊向量，有时也称为特征向量、本征向量或潜在向量（Marcus and Minc 1988, p. 144）。

在物理学和工程学中，确定系统的特征向量和特征值极其重要，它等同于矩阵对角化，并出现在诸如稳定性分析、旋转物体的物理学和振动系统的小振荡等常见应用中，仅举几例。每个特征向量都与一个相应的所谓特征值配对。在数学上，需要区分两种不同的特征向量：左特征向量和右特征向量。然而，对于物理学和工程学中的许多问题，仅考虑右特征向量就足够了。因此，在这些应用中，未经限定使用的术语“特征向量”可以理解为指右特征向量。

将方阵 分解为特征值和特征向量在本工作中称为特征分解，而只要由 的特征向量组成的矩阵是方阵，这种分解总是可能的这一事实被称为特征分解定理。

将右特征向量定义为满足以下条件的列向量

其中 是一个矩阵，因此

这意味着右特征值必须具有零行列式，即，

类似地，将左特征向量定义为满足以下条件的行向量

对每一边取转置得到

这可以重写为

再次重新排列得到

这意味着

重写得到

其中最后一步来自恒等式

等式 (◇) 和 (11) 都等于 0 对于任意 和 ，因此要求 ，即，左右特征值是等价的，但对于特征向量来说，这个陈述是不成立的。

设 是由右特征向量的列形成的矩阵， 是由左特征向量的行形成的矩阵。设

那么

并且

因此

但是这个方程的形式是

其中 是对角矩阵，因此 C= 也必须是对角矩阵。特别地，如果 是对称矩阵，则左右特征向量只是彼此的转置，如果 是自伴矩阵（即，它是埃尔米特矩阵），则左右特征向量是伴随矩阵。

特征向量可能不等于零向量。特征向量的非零标量倍数等价于原始特征向量。因此，在不失一般性的前提下，特征向量通常被归一化为单位长度。

虽然一个 矩阵总是具有 个特征值，其中一些或全部可能是退化的，但这样的矩阵可能具有 0 到 个线性独立的特征向量。例如，矩阵 只有一个特征向量 。

可以使用 Wolfram 语言计算特征向量，方法是使用Eigenvectors[matrix]。此命令始终返回长度为 的列表，因此任何线性不独立的特征向量都将作为零向量返回。可以使用以下命令一起返回特征向量和特征值Eigensystem[matrix]。

给定一个 矩阵 ，其特征向量为 、 和 ，相应的特征值为 、 和 ，则任意向量 可以写成

应用矩阵 ，

因此

如果 ，且 ，则因此得出

因此，将矩阵重复应用于任意向量，惊人地会得到一个与具有最大特征值的特征向量成比例的向量。