线性变换

两个向量空间 和 之间的线性变换是一个映射 ，满足以下条件

1. 对于 向量 和 在 中，以及

2. 对于任何标量 。

线性变换可以是单射或满射，也可能不是。当 和 具有相同的维数时， 可能是可逆的，这意味着存在一个 使得 。总是成立 。此外，线性变换总是将直线映射到直线（或零）。

线性变换的主要例子由矩阵乘法给出。给定一个 矩阵 ，定义 ，其中 被写成列向量（具有 个坐标）。例如，考虑

(1)

那么 是从 到 的线性变换，定义为

(2)

当 和 是有限维的时，只有在指定 和 的向量基之后，才能将一般线性变换写成矩阵乘法。当 和 具有内积，并且它们的向量基 和 是正交归一的时，很容易写出相应的矩阵 。特别地，。请注意，当使用 和 的标准基时，第 列对应于第 个标准基向量的图像。

当 和 是无限维的时，线性变换可能不是连续的。例如，设 为单变量多项式空间， 为导数。那么 ，这不是连续的，因为 而 不收敛。

线性二维变换有一个简单的分类。考虑二维线性变换

			(3)
			(4)

现在通过定义 和 来重新缩放。那么上述方程变为

(5)

其中 并且 、、 和 是根据旧常数定义的。求解 得到

(6)

因此变换是一对一的。要找到变换的不动点，设置 以获得

(7)

这给出了两个不动点，它们可能是不同的或重合的。不动点分类如下。

变量	类型
	双曲不动点
	椭圆不动点
	抛物线不动点