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希尔伯特矩阵

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HilbertMatrix

一个 矩阵 H，其元素为

H_(ij)=(i+j-1)^(-1)
(1)

对于 i,j=1, 2, ..., n。希尔伯特矩阵在 Wolfram 语言中通过以下方式实现：HilbertMatrix[m, n]。上图显示了一个 256×256 希尔伯特矩阵的图，其元素根据其值着色。

条目被指定为机器精度数字的希尔伯特矩阵很难使用数值技术求逆。

对于 H_n 的前几个值的 行列式，对于 n=1, 2, ... 由 1, 12, 2160, 6048000, 266716800000, ... (OEIS A005249) 给出。序列的项具有闭合形式

a_n=(n^n)/(G^2(n+1))product_(k=1)^(n-1)(n^2-k^2)^(n-k)
(2)
=product_(k=1)^(n-1)(2k+1)(2k; k)^2
(3)
=(2^(n(2n-1)-1/12)A^3)/(e^(1/4)pi^n)(G(n+1/2)G(n+3/2))/(G^2(n+1)),
(4)

其中 A 是 Glaisher-Kinkelin 常数，G(n) 是 Barnes G-函数。数值在下表中给出。

ndet(H)
11
28.33333×10^(-2)
34.62963×10^(-4)
41.65344×10^(-7)
53.74930×10^(-12)
65.36730×10^(-18)

矩阵逆的元素，n×n 希尔伯特矩阵，由下式解析给出：

(H^(-1))_(ij)=(-1)^(i+j)(i+j-1)(n+i-1; n-j)(n+j-1; n-i)(i+j-2; i-1)^2
(5)

(Choi 1983, Richardson 1999)。

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参考文献

Choi, M.-D. "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix." Amer. Math. Monthly 90, 301-312, 1983.Richardson, T. M. "The Filbert Matrix" 12 May 1999. http://arxiv.org/abs/math.LA/9905079.Sloane, N. J. A. Sequence A005249/M4882 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, p. 18, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

在 Wolfram|Alpha 上引用

希尔伯特矩阵

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "希尔伯特矩阵。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HilbertMatrix.html

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