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史密斯标准型

设 A 为一个 n×n 矩阵，其元素取自 域 F。使用域中元素的三个初等行和列运算，n×n 矩阵 xI-A （其元素取自主理想域 F[x]，其中 I 是单位矩阵）可以化为对角形式

[1 0 ... 0 0 0 0 0; 0 1 ... 0 0 0 0 0; | ... ... ... ... ... ... |; 0 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 a_1(x) 0 0 0; 0 0 0 0 0 a_2(x) 0 0; | ... ... ... ... ... ... |; 0 0 0 0 0 0 0 a_m(x)],

其中 a_1(x), a_2(x), ..., a_m(x) 是 F[x] 的首一非零元素，其次数至少为一，并且满足 a_1(x)|a_2(x)|...|a_m(x)，其中 f|g|h|... 表示 f 整除 g，g 又整除 h，依此类推 (Dummit and Foote 1998, pp. 390-391 and 414)。这种形式被称为史密斯标准型，元素 a_i(x) 被称为 A 的不变因子。

参见

埃尔米特标准型, 标准型

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参考文献

Ayres, F. Jr. "Smith Normal Form." Ch. 24 in Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, pp. 188-195, 1962.Dumas, J.-G.; Saunders, B. D.; and Villard, G. "On Efficient Sparse Integer Matrix Smith Normal Form Computations." J. Symb. Comput. 32, 71-100, 2001.Dummit, D. S. and Foote, R. M. Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1998.Giesbrecht, M. "Fast Computation of the Smith Form of a Sparse Integer Matrix." Comput. Complexity 10, 41-69, 2001. Pascoletti, A. "Smith Normal Forms." http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/7081/.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

史密斯标准型

引用为

Weisstein, Eric W. "Smith Normal Form." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/SmithNormalForm.html

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