矩阵对角化

矩阵对角化是将一个方阵转换为一种特殊类型的矩阵——所谓的对角矩阵——的过程，这种对角矩阵与原始矩阵共享相同的基本属性。矩阵对角化等价于将底层的方程组转换为一组特殊的坐标轴，在这些坐标轴中，矩阵呈现这种规范形式。对角化一个矩阵也等价于找到矩阵的特征值，这些特征值恰好是对角化矩阵的条目。类似地，特征向量构成了对应于对角矩阵的新坐标轴。

对角化矩阵、特征值和特征向量之间非凡的关系源于美丽的数学恒等式（特征分解），即一个方阵 可以被分解成非常特殊的形式

(1)

其中 是由 的特征向量组成的矩阵， 是由相应的特征值构建的对角矩阵，而 是 的矩阵逆。根据特征分解定理，一个初始的矩阵方程

(2)

总是可以写成

(3)

（至少只要 是一个方阵），并且两边左乘 得到

(4)

由于相同的线性变换 同时应用于 和 ，因此求解原始系统等价于求解变换后的系统

(5)

其中 且 。这提供了一种将系统规范化为最简单形式的方法，将任意矩阵的参数数量从 减少到对角矩阵的 ，并获得初始矩阵的特征属性。这种方法在物理学和工程学中经常出现，这项技术经常被使用并且非常强大。