克莱姆法则

给定一组线性方程

(1)

考虑 行列式

(2)

现在将 乘以 ，并使用 行列式 的性质，即乘以一个常数等价于将单列中的每个条目乘以该常数，因此

(3)

行列式 的另一个性质使我们能够将任意列的常数倍加到任何列并获得相同的 行列式，因此将 乘以第 2 列，将 乘以第 3 列加到第 1 列，

(4)

如果 ，则 (4) 简化为 ，因此系统只有在 的情况下才具有非退化解（即，除 (0, 0, 0) 之外的解）（在这种情况下，存在一系列解）。如果 且 ，则系统没有唯一解。相反，如果 且 ，则解由下式给出

(5)

同样适用于

			(6)
			(7)

此过程可以推广到一组 方程，因此，给定一个 线性方程组

(8)

令

(9)

如果 ，则非退化解仅在 的情况下存在。如果 且 ，则系统没有唯一解。否则，计算

(10)

然后 对于 。 在三维情况下，克莱姆法则的 向量 类似物是

(11)