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傅里叶矩阵

这个 n×n 方阵 F_n，其条目由下式给出

F_(jk)=e^(2piijk/n)=omega^(jk)
(1)

对于 j,k=0, 1, 2, ..., n-1，其中 i 是 虚数 i=sqrt(-1)，并通过 1/sqrt(n) 归一化使其成为 酉矩阵。傅里叶矩阵 F_2 由下式给出

F_2=1/(sqrt(2))[1 1; 1 i^2],
(2)

以及 F_4 矩阵由下式给出

F_4=1/(sqrt(4))[1 1 1 1; 1 i i^2 i^3; 1 i^2 i^4 i^6; 1 i^3 i^6 i^9]
(3)
=1/2[1 1 ; 1 i; 1 -1 ; 1 -i][1 1 ; 1 i^2 ; 1 1; 1 i^2][1 ; 1 ; 1 ; 1].
(4)

一般来说，

F_(2n)=[I_n D_n; I_n -D_n][F_n ; F_n][ even-odd ; shuffle ],
(5)

使用

[F_n ; F_n]=[I_(n/2) D_(n/2) ; I_(n/2) -D_(n/2) ; I_(n/2) D_(n/2); I_(n/2) -D_(n/2)] ×[F_(n/2) ; F_(n/2) ; F_(n/2) ; F_(n/2)][even-odd; 0,2 (mod 4); even-odd; 1,3 (mod 4)],
(6)

其中 I_n 是 n×n 单位矩阵，而 D_n 是 对角矩阵，其条目为 1, omega, ..., omega^(n-1)。请注意，因式分解（这是 快速傅里叶变换 的基础）在中心因子 矩阵 中包含两个 F_2 的副本。

另请参阅

快速傅里叶变换, 傅里叶变换

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参考文献

Strang, G. "小波变换与傅里叶变换。" Bull. Amer. Math. Soc. 28, 288-305, 1993.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

傅里叶矩阵

引用为

Weisstein, Eric W. "傅里叶矩阵。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FourierMatrix.html

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