对称矩阵

对称矩阵是满足以下条件的方阵

(1)

其中 表示转置，因此 。 这也意味着

(2)

其中 是单位矩阵。 例如，

(3)

是一个对称矩阵。埃尔米特矩阵是复矩阵对称矩阵的有用推广。

不是对称矩阵的矩阵被称为非对称矩阵，不要与反对称矩阵混淆。

可以使用 Wolfram 语言测试矩阵 是否对称，方法是SymmetricMatrixQ[m]。

显式地写出，对称矩阵 的元素形式为

(4)

任何矩阵的对称部分可以从下式获得

(5)

矩阵 是对称的，如果它可以表示为以下形式

(6)

其中 是一个正交矩阵，而 是一个对角矩阵。 这等价于矩阵方程

(7)

这等价于

(8)

对于所有 ，其中 。 因此， 的对角元素是 的特征值，而 的列是相应的特征向量。

阶数为 且在 符号上的对称矩阵的数量为 , , , , ..., 。 因此，对于(0,1)-矩阵，阶数为 , 2, ... 的不同对称矩阵的数量为 2, 8, 64, 1024, ... (OEIS A006125)。