有理规范型

任何 方阵 都有一个规范形式，而无需扩展其 系数域。 例如，如果 的条目是 有理数，那么其有理规范形式的条目也是有理数。（约旦规范形式 可能需要复数。） 存在一个 非奇异矩阵 使得

(1)

称为有理规范型，其中 是 伴随矩阵，用于 首一多项式

(2)

多项式 称为 的“不变因子”，并且满足 ，对于 , ..., (Hartwig 1996)。多项式 是 矩阵最小多项式，乘积 是 特征多项式 的特征多项式。

有理规范型是唯一的，并显示了最小多项式表征矩阵的程度。 例如，只有一个 矩阵的 矩阵最小多项式 是 ，即

(3)

以有理规范型表示。

给定一个 线性变换 ，向量空间 变成一个 -模，即 模 在 环 上，该环是由 域 中系数多项式构成的环。 向量空间 确定了域 ，它可以被视为包含 矩阵条目的最大域。 多项式 通过 作用于向量 。 有理规范型对应于将 写成

(4)

其中 是由 不变因子 在 中生成的 理想，这是任何在 主环 （如 ）上有限生成模的规范形式。

更具建设性地，给定 的基 ，存在一个 模同态

(5)

这是一个 满射，由下式给出

(6)

令 为 模核，

(7)

为了构造有理规范型的基，有必要将 写成

(8)

这是通过找到 和 的适当基来完成的。 这样的基是通过确定矩阵 和 来找到的，它们是可逆的 矩阵，其条目在 中（并且其逆也在 中），使得

(9)

其中 是 单位矩阵， 表示 对角矩阵。 它们可以通过使用 初等行和列运算找到。

上述矩阵将 的基（写成 元组）使用 的新基 转换为 元组，并且 给出了从原始基到具有 的基的线性变换。 特别是，

(10)

其中 是 中的任意多项式。 设置 ,

(11)

特别地， 是 子空间 ，它由 生成，其中 是 的度。 因此，将 放入有理规范形式的基由下式给出

(12)