几乎是整数

几乎是整数是指非常接近整数的数字。

费马大定理的近似解提供了一些著名的几乎是整数的例子。在动画电视节目《辛普森一家》第 7 季第 6 集（“恐怖树屋 VI”）题为 的片段中，方程 在背景中出现。展开后发现只有前 9 位十进制数字匹配 (Rogers 2005)。《辛普森一家》第 10 季第 2 集（“常青台巫师”）提到了 ，它不仅在前 10 位十进制数字上匹配，而且在易于检查的最后一位也匹配 (Greenwald)。相应的几乎是整数为

一些令人惊讶的几乎是整数由下式给出

它在 5 位数字内等于 ，并且

它在 16 位数字内等于 （M. Trott，私人通讯，2004 年 12 月 7 日）。其中第一个来自半角公式恒等式

其中 22 是 π 的收敛项 22/7 的分子，因此 ，所以 。因此，任何 π 近似值 都会给出 形式的近似恒等式。

另一个涉及 e 和 π 的令人惊讶的例子是

（参见 Maze 和 Minder 2005），也可以写成

这里， 是 盖尔丰德常数。这个近似恒等式显然在 1988 年左右几乎同时被 N. J. A. Sloane、J. H. Conway 和 S. Plouffe 注意到。它的起源可以追溯到与雅可比 θ 函数相关的和

第一项占主导地位，因为其他项仅贡献

给出

改写为

并使用近似值 ，则得到

（A. Doman，2023 年 9 月 18 日；由 D. Bamberger，2023 年 11 月 26 日传达）。有趣的是，最后一步中选择 （与其他选择相比，这在数学上并不重要，除了它使最终形式非常简单）使得公式比其他情况精确一个数量级。

通过多次应用余弦，可以使近似恒等式更接近，例如，

另一个嵌套余弦几乎是整数由下式给出

（P. Rolli，私人通讯，2004 年 2 月 19 日）。

一个归因于拉马努金的例子是

一些涉及整数和对数的近似恒等式为

它们分别精确到 6、6 和 6 位小数（K. Hammond，私人通讯，2006 年 1 月 4 日和 3 月 23-24 日）。

一个有趣的近似恒等式由下式给出

（W. Dubuque，私人通讯）。

涉及 和 的近似恒等式由下式给出

（D. Wilson，私人通讯），

（D. Ehlke，私人通讯，2005 年 4 月 7 日），

（Povolotsky，私人通讯，2008 年 5 月 11 日），和

（精确到 8 位数字；M. Stay，私人通讯，2009 年 3 月 17 日），或等效地

其他显著的近似恒等式由下式给出

其中 是伽玛函数 (S. Plouffe，私人通讯)，

（D. Davis，私人通讯），

（发布到sci.math；来源未知），

其中 是 卡塔兰常数， 是 欧拉-马歇罗尼常数，φ 是 黄金比例（D. Barron，私人通讯），以及

（E. Stoschek，私人通讯）。Stoschek 还给出了一个有趣的近似恒等式，涉及精细结构常数 和 费根鲍姆常数 ,

E. Pegg Jr.（私人通讯，2002 年 3 月 4 日）发现了有趣的近似恒等式

和

近似恒等式

产生于注意到从正十二面体增广形成大十二面体的增广比率 近似等于 。另一个近似恒等式由下式给出

其中 是 阿佩里常数， 是 欧拉-马歇罗尼常数，它精确到四位数字（P. Galliani，私人通讯，2002 年 4 月 19 日）。

J. DePompeo（私人通讯，2004 年 3 月 29 日）发现

它在五位数字内等于 1。

M. Hudson（私人通讯，2004 年 10 月 18 日）注意到几乎是整数

其中 是 辛钦常数，以及

（私人通讯，2005 年 2 月 4 日），其中 是 欧拉-马歇罗尼常数。

M. Joseph 发现

它在四位数字内等于 1（私人通讯，2006 年 5 月 18 日）。M. Kobayashi（私人通讯，2004 年 9 月 17 日）发现

它在五位数字内等于 1。相关的表达式

它在六位数字内等于 0（E. Pegg Jr.，私人通讯，2004 年 9 月 28 日）。S. M. Edde（私人通讯，2007 年 9 月 7 日）注意到

其中 是双伽玛函数。

E. W. Weisstein（2003 年 3 月 17 日）发现了几乎是整数

作为积分区域分解中的单独积分，用于计算三角形三角形拾取中三角形的平均面积。

和 给出几乎是整数

（E. W. Weisstein，2005 年 2 月 5 日）。

Prudnikov 等人（1986 年，第 757 页）无意中给出了一个几乎是整数的结果，因为他们错误地将无穷乘积识别为

其中 是 q-Pochhammer 符号，被认为等于 ，这与正确结果相差

一个与八字曲线相关的更晦涩的近似恒等式是跳跃的位置在

其中

并且 是第三类椭圆积分，其值为 1.3333292798...，或在 4/3 的 范围内 (E. W. Weisstein，2006 年 4 月)。另一个稍微晦涩的是给出学生 t 分布在样本量为 30 时 99.5% 置信区间所需的 x 值，其值为 2.7499956...，或在 11/4 的 范围内 (E. W. Weisstein，2006 年 5 月 2 日)。

设 是等腰直角三角形中三角形线拾取的线段的平均长度，则

它在 的 范围内。

D. Terr（私人通讯，2004 年 7 月 29 日）发现了几乎是整数

其中 是黄金比例， 是 2 的自然对数。

D. Hickerson 提出的一组几乎是整数的形式为形式为

对于 ，如下表所示。

这些数字接近整数，因为该商是 n 个人（允许平局）之间比赛可能结果数量的无穷级数中的主导项。将此数字称为 ，则得出

其中 ，其中 是二项式系数。由此，我们得到 的指数生成函数

然后通过围道积分可以证明

对于 ，其中 是 的平方根，并且总和是对所有整数 求和（这里， 和 项的虚部相互抵消，因此此总和是实数）。 项占主导地位，因此 渐近于 。总和可以显式地完成为

其中 是赫尔维茨 zeta 函数。实际上，对于 n 从 1 到 15，其他项非常小，因此对于这些值， 是 最接近的整数，由序列 1, 3, 13 75, 541, 4683, ... (OEIS A034172) 给出。

可以使用模函数理论找到一大类无理数几乎是整数，拉马努金（1913-14）给出了一些相当引人注目的例子。Hermite（1859）、Kronecker（1863）和 Smith（1965）也研究了这种近似。它们可以使用 j 函数的一些惊人（且非常深刻）的属性生成。一些最接近整数的近似值是 （有时称为拉马努金常数，它对应于类数为 1 且是最大判别式的虚二次域的域 ），， 和 ，其中最后三个的类数为 2，归功于拉马努金（Berndt 1994，Waldschmidt 1988ab）。

j 函数的属性也产生了惊人的恒等式

（Le Lionnais 1983, p. 152; Trott 2004, p. 8）。

下面的列表给出了形式为 ，对于 ，满足 的数字。

Gosper（私人通讯）指出表达式

与整数仅相差 。

E. Pegg Jr. 指出，上面图示的三角形解剖长度为

这几乎是一个整数。

Borwein 和 Borwein (1992) 以及 Borwein 等人 (2004, pp. 11-15) 给出了几乎为真的级数恒等式的例子。例如，

这是正确的，因为 并且对于正整数 ，。实际上，前几个使 的 n 的加倍值是 268、536、804、1072、1341、1609、...(OEIS A096613)。

一个（非常）接近整数的例子是

（Borwein 和 Borwein 1992；Maze 和 Minder 2005）。

Maze 和 Minder (2005) 发现了从以下公式获得的一类近似恒等式

为

（OEIS A114609 和 A114610）。这里，超额部分可以计算为由递归关系连接的精确和，其中前几个是

（Maze 和 Minder 2005）。这些总和也可以使用 q-polygamma 函数 以闭合形式完成，例如给出

其中 。

一个有趣的涉及长度单位的几乎是整数由下式给出

一个涉及长度、时间和速度的由下式给出

（J. Martin-Garcia，私人通讯，2022 年 6 月 25 日）。

如果允许物理和数学常数的组合并以 SI 单位表示，则以下量具有接近整数的数值前因子

（M. Trott，私人通讯，2011 年 4 月 28 日），其中第一个显然被 Weisskopf 注意到。这里， 是光速， 是基本电荷， 是玻尔兹曼常数， 是普朗克常数， 是 4 维超立方体晶格的键渗流阈值， 是真空介电常数， 是里德伯常数。另一个著名的例子是 Wyler 常数，它根据基本数学常数近似（无量纲）精细结构常数。