主题
Search

e

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本
EAreaPlot

常数 constant e 是 自然对数 的底数。 e 有时被称为纳皮尔常数，尽管它的符号 (e) 是为了纪念欧拉。

e 是唯一一个具有以下性质的数字：由 双曲线 y=1/x、x 轴和垂直线 x=1 和 x=e 界定的区域的面积为 1。换句话说，

int_1^e(dx)/x=lne=1.
(1)

除了 pi 之外，e 是数学中最重要的常数，因为它出现在无数涉及 极限 和 导数 的数学语境中。 e 的数值为

e=2.718281828459045235360287471352662497757...
(2)

(OEIS A001113)。

ELimit

e 可以用 极限 定义

e=lim_(x->infty)(1+1/x)^x
(3)

（如上图所示），或由无穷级数

e=sum_(k=0)^infty1/(k!)
(4)

最早由牛顿于 1669 年发表（重印于 Whiteside 1968 年，第 225 页）。

e 由不寻常的极限给出

lim_(n->infty)[((n+1)^(n+1))/(n^n)-(n^n)/((n-1)^(n-1))]=e
(5)

(Brothers 和 Knox 1998)。

欧拉（1737 年；Sandifer 2006 年）证明了 e 是 无理数，通过证明 e 有一个无限简单连分数 (e=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,...]; Nagell 1951），利维尔在 1844 年证明了 e 不满足任何具有整数 系数 的 二次方程 （即，如果它是 代数数，它必须是次数大于 2 的代数数）。埃尔米特随后解决了这个问题，证明了 e 在 1873 年是 超越数。然而，e 是“最小”的超越数，其 无理数测度 为 mu(e)=2。

桑多（2006 年）证明了 e 使用 e 作为闭区间的嵌套序列的交集构造证明了 e 是无理数。该方法还根据 斯马兰达克函数 （此处表示为 S(n) 而不是传统的 mu(n)）提供了无理数测度，以避免与 无理数测度 混淆，通过表明，如果 p 和 q 是任何整数，且 q>1，则

|e-p/q|>1/((S(q)+1)!).
(6)

尚不清楚 pi+e 或 pi/e 是否是 无理数。已知 pi+e 和 pi/e 不满足任何次数 <=8 的 多项式 方程，且 整数 系数 的平均大小为 10^9 (Bailey 1988, Borwein et al. 1989)，但尚不清楚其中任何一个是超越数。

尚不清楚 e 对于任何基数是否是正规数 (Stoneham 1970)。

e 具有级数表示

e=[sum_(k=0)^infty((-1)^k)/(k!)]^(-1),
(7)

以及

e=[sum_(k=0)^(infty)(1-2k)/((2k)!)]^(-1)
(8)
=sum_(k=0)^(infty)(2k+1)/((2k)!)
(9)
=1/2sum_(k=0)^(infty)(k+1)/(k!)
(10)
=2sum_(k=0)^(infty)(k+1)/((2k+1)!)
(11)
=sum_(k=0)^(infty)(3-4k^2)/((2k+1)!)
(12)
=sum_(k=0)^(infty)((3k)^2+1)/((3k)!)
(13)
=[sum_(k=0)^(infty)(4k+3)/(2^(2k+1)(2k+1)!)]^2.
(14)

欧拉公式 的特例

e^(ix)=cosx+isinx
(15)

当 x=pi 时，给出了美丽的恒等式

e^(ipi)+1=0,
(16)

一个连接基本数字 i、pi、e、1 和 0 (零) 的等式，并涉及等式（=）、加法 (+)、乘法 (×) 和 指数运算 的基本运算。

e 的嵌套级数可以通过重写 e 的级数 (2) 得到，为

e=1+1+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+...
(17)
=1+1+1/2(1+1/3+1/(4·3)+...)
(18)
=1+1+1/2(1+1/3(1+1/4(1+1/5(1+...)))),
(19)

当 x 取两侧的幂时，会得到一个漂亮的 嵌套根式 结果。

一个意想不到的 沃利斯-like 公式 e 由 皮平格尔乘积 给出

e/2=(2/1)^(1/2)(2/34/3)^(1/4)(4/56/56/78/7)^(1/8)...
(20)

(OEIS A084148 和 A084149；Pippenger 1980）。另一个关于 e 的乘积由

e=(2/1)^(1/1)((2^2)/(1·3))^(1/2)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/3)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/4)...
(21)

由 Guillera 提出 (Sondow 2006)。这类似于乘积

e^gamma=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/3)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/4)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/5)...,
(22)

和

pi/2=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/4)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/8)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/16)...
(23)

(Guillera 和 Sondow 2005，Sondow 2006)。

使用 递推关系

a_n=n(a_(n-1)+1)
(24)

其中 a_1=a^(-1)，计算

product_(n=1)^infty(1+a_n^(-1)).
(25)

结果是 e^a。Gosper 给出了连接 pi 和 e 的不寻常方程，

sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)cos(9/(npi+sqrt(n^2pi^2-9)))=-(pi^2)/(12e^3)
(26)
=-0.040948222...
(27)

(OEIS A100074)。

Rabinowitz 和 Wagon (1995) 给出了一个 算法，用于计算 e 的数字，基于早期的 数字 (Borwein 和 Bailey 2003，第 140 页），但 Sales 在 1968 年发现了一个更简单的 流式算法。大约在 1966 年，麻省理工学院的黑客 Eric Jensen 编写了一个非常简洁的程序（不到一页汇编语言），该程序通过从阶乘基数转换为十进制来计算 e。

设 p(n) 是随机 一一对应 函数在 整数 1, ..., n 上至少有一个 不动点 的概率。那么

lim_(n->infty)p(n)=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k+1))/(k!)
(28)
=1-1/e
(29)
=0.6321205588...
(30)

(OEIS A068996)。

斯特林近似 给出

lim_(n->infty)((n!)^(1/n))/n=1/e
(31)
=0.367879441...
(32)

(OEIS A068985)。

施泰纳问题 要求函数 x^(1/x) 的最大值，由 e^(1/e) 给出。

e 助记符 的例子 (Gardner 1959, 1991) 包括

“我乘公共汽车去了布鲁克林”（6 位数字）。

“扰乱游戏室通常是孩子们的习惯”（10 位数字）。

“它可以让笨蛋记住大量的数字”（10 位数字）。

“我正在形成一个助记符来记住分析中的一个函数”（10 位数字）。

“他重复说：我不应该小酌，我不应该在这里倒下！”（11 位数字）。

“在向一位可能挑剔或恶毒的女士展示一幅画作时，愤怒占了上风。哦，小心点，否则她会咆哮和尖叫”（21 位数字）。在这里，单词“O”代表数字 0。

一个给出 40 位数字的更广泛的助记符是

“我们提出一个助记符来记住一个如此令人兴奋的常数，以至于欧拉惊呼：'！' 当它第一次被发现时，是的，大声地'！'。我的学生或许会计算 e，使用幂级数或泰勒级数，一个简单的求和公式，显而易见，清晰，优雅！”

(Barel 1995)。在后者中，0 用“！”表示。A. P. Hatzipolakis 维护着一份 e 多种语言的助记符列表。

另请参阅

e 近似值, e 连分数, e 数字, 卡勒曼不等式, 复利, 棣莫弗恒等式, 欧拉公式, 指数衰减, 指数函数, 指数增长, 埃尔米特-林德曼定理, 自然对数, 皮科弗序列, 施泰纳问题 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Constants/E/

本条目的部分内容由 Jonathan Sondow (作者链接) 贡献

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Bailey, D. H. "关于涉及 pi, e, and Euler's Constant 的常数的超越性的数值结果." 数学计算 50, 275-281, 1988.Barel, Z. " 的助记符." 数学杂志 68, 253, 1995.Baruvelle, H. V. "数字 e: 自然对数的基数." 数学教师 38, 350-355, 1945.Borwein, J. and Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; and Bailey, D. H. "拉马努金、模方程和圆周率的近似值或如何计算十亿位圆周率." 美国数学月刊 96, 201-219, 1989.Brothers, H. J. "提高牛顿级数对 e 的近似的收敛性." 大学数学杂志 35, 34-39, 2004.Brothers, H. J. and Knox, J. A. "对数常数 e 的新闭式近似." 数学智能 20, 25-29, 1998.Caldwell, C. K. and Dubner, H. "圆周率中的素数." 休闲数学杂志 29, 282-289, 1998.Castellanos, D. "无处不在的圆周率。第一部分." 数学杂志 61, 67-98, 1988.Conway, J. H. and Guy, R. K. 数字之书。 New York: Springer-Verlag, pp. 201 and 250-254, 1996.Euler, L. "关于连分数的论文." 圣彼得堡科学院学报 9, 98-137, (1737) 1744. Reprinted in Leonhardi Euleri Opera Omnia, Ser. I, Vol. 14. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 187-215, 1924.Euler, L. "关于连分数的文章." Trans. M. F. Wyman and B. F. Wyman. 数学系统理论 18, 295-328, 1985.Finch, S. R. "自然对数的基数." §1.3 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 12-17, 2003.Friedman, E. "本月问题（2004 年 8 月）." https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0804.html.Gardner, M. "记忆数字." Ch. 11 in 科学美国人数学谜题和消遣书。 New York: Simon and Schuster, pp. 103 and 109, 1959.Gardner, M. "超越数 e." Ch. 3 in 意外的绞刑和其他数学消遣。 Chicago, IL: Chicago University Press, pp. 34-42, 1991.Gourdon, X. and Sebah, P. "常数 e." http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html.Guillera, J. and Sondow, J. "通过 Lerch 超越函数的解析延拓获得的一些经典常数的双重积分和无穷乘积." 16 June 2005. http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Hatzipolakis, A. P. "圆周率语文学." http://www.cilea.it/~bottoni/www-cilea/F90/piphil.htm.Hermite, C. "关于指数函数." 巴黎科学院报告 77, 18-24, 74-79, and 226-233, 1873.Knox, J. A. and Brothers, H. J. " 的新型基于级数的近似." 大学数学杂志 30, 209-215, 1999.Le Lionnais, F. 杰出的数字。 Paris: Hermann, p. 47, 1983.Maor, E. e：一个数字的故事。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.Minkus, J. "一个连分数." Problem 10327. 美国数学月刊 103, 605-606, 1996.Mitchell, U. G. and Strain, M. "数字 e." 奥西里斯 1, 476-496, 1936.Nagell, T. "数字 e 和 pi 的无理性." §13 in 数论导论。 New York: Wiley, pp. 38-40, 1951.Newton, I. 艾萨克·牛顿的数学论文，第 2 卷：1667-1670 (Ed. D. T. Whiteside). New York: Cambridge University Press, 1968.Pippenger, N. " 的一个无穷乘积." 美国数学月刊 87, 391, 1980.Plouffe, S. "常数计算的当前记录表." http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.Rabinowitz, S. and Wagon, S. "圆周率数字的流式算法." 美国数学月刊 102, 195-203, 1995.Reid, C. In 从零到无穷，第 4 版。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1992.Sandifer, E. "欧拉是怎么做的：谁证明了 e 是无理数？" Feb. 2006. http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20e%20is%20irrational.pdf.Sloane, N. J. A. 序列 A000029/M0563, A001113/M1727, A068985, A068996, A084148, A084149, 和 A100074 in "整数序列在线百科全书."Sondow, J. " 的几何证明 e 是无理数及其无理性的新度量." 美国数学月刊 113, 637-641, 2006.Stoneham, R. "从有理函数构造超越非刘维尔正规数的一般算术方法." 算术学报 16, 239-253, 1970.Wall, H. S. 连分数的解析理论。 New York: Chelsea, 1948.Weisstein, E. W. "关于 e 的书籍." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/e.html.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 46, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

e

请引用为

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. "e." 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源. https://mathworld.net.cn/e.html

主题分类