八字曲线

一种曲线，也称为热罗诺双纽线。它由笛卡尔坐标给出

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极坐标,

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和参数方程

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它在 处有垂直切线，在 处有水平切线。

在八字曲面的方程中设置 , , 和 （即，缩小一半并将 -轴重新标记为 -轴）得到八字曲线。

曲线的面积是

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曲率和切线角是

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整个曲线的弧长由下式给出

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(OEIS A118178), 其中 是第一类完全椭圆积分， 是第二类完全椭圆积分， 并且 是第三类完全椭圆积分，所有这些都以椭圆模量 为参数 (D. W. Cantrell, 私人通讯, 4月 22, 2006)。 弧长也通过以下方式与一维随机游走有着惊人的联系

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其中

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并且 是一个正则化超几何函数，其中前几项对于 , 1, ... 是 1, 0, 4, 6, 36, 100, ... (OEIS A092765; M. Alekseyev, 私人通讯, 4月 19, 2006)。