无理数

无理数是不能表示为 分数 的数，其中 和 为 整数。无理数具有既不终止也不循环的小数展开。每个超越数都是无理数。

无理数集合没有标准符号，但符号 , , 或 都可以使用，其中横线、减号或反斜杠表示 有理数 在实数 上的集合补集。

最著名的无理数是 ，有时称为毕达哥拉斯常数。传说毕达哥拉斯哲学家希帕索斯在海上用几何方法证明了 的无理性，并在通知了他的同志他的伟大发现后，立即被狂热的毕达哥拉斯学派成员扔下船。其他例子包括 , , 等。Erdős-Borwein 常数

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(OEIS A065442; Erdős 1948, Guy 1994), 其中 是 的除数个数，以及一组推广 (Borwein 1992) 也已知是无理数 (Bailey and Crandall 2002)。

形式为 的数是无理数，除非 是 次幂的整数。形式为 的数，其中 是对数，如果 和 是整数，其中一个整数有一个质因数，而另一个整数没有该质因数，则为无理数。 对于有理数 是无理数。 对于每个有理数 都是无理数 (Niven 1956, Stevens 1999)，并且 (对于以度为单位测量的 ) 对于每个有理数 都是无理数，除了 (Niven 1956)。 对于每个有理数 都是无理数 (Stevens 1999)。

e 的无理性由欧拉在 1737 年证明；对于一般情况，参见 Hardy 和 Wright (1979, p. 46)。 对于正整数 是无理数。pi 本身的无理性由 Lambert 在 1760 年证明；对于一般情况，参见 Hardy 和 Wright (1979, p. 47)。Apéry 常数 (其中 是黎曼 zeta 函数) 由 Apéry (1979; van der Poorten 1979) 证明是无理数。此外，T. Rivoal (2000) 最近证明，有无限多个整数 使得 是无理数。随后，他还表明，, , ..., 中至少有一个是无理数 (Rivoal 2001)。

根据格尔丰德定理，形式为 的数是超越数（因此也是无理数），如果 是代数数 , 1 并且 是无理数和代数数。这确立了格尔丰德常数 的无理性（因为 ），以及 。Nesterenko (1996) 证明了 是无理数。事实上，他证明了 , 和 是代数独立的，但此前尚不清楚 是否为无理数。

给定一个多项式方程

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其中 是整数，根 要么是整数，要么是无理数。如果 是无理数，那么 , , 和 也是无理数。

尚未确定 , , , 或 (其中 是欧拉-马歇罗尼常数) 的无理性。

二次不尽根是具有周期性连分数的无理数。

胡尔维茨无理数定理给出了形式为

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对于任意无理数 的最佳有理逼近可能性的界限，其中 称为拉格朗日数，并且对于每个被排除的“坏”无理数集合，拉格朗日数稳步增大。

级数

(6)

其中 是除数函数，对于 和 2 是无理数。