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三角形三角形拾取

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Triangle triangle picking

沃森 (1865) 提出了在单位面积三角形内选取顶点的三角形的平均三角形面积问题，并由西尔维斯特解决。它的解是多边形三角形拾取的一般公式的特例。

由于该问题是仿射的，因此可以通过简单地考虑单位腿长的等腰直角三角形来解决。将三角形面积公式在顶点六个坐标上积分（并通过将单位在区域上的积分除以三角形面积和积分区域进行归一化）得到

A^_=(int_0^1int_0^(x_1)int_0^1int_0^(x_2)int_0^1int_0^(x_3)|Delta|dy_3dx_3dy_2dx_2dy_1dx_1)/(int_0^1int_0^(x_1)int_0^1int_0^(x_2)int_0^1int_0^(x_3)dy_3dx_3dy_2dx_2dy_1dx_1)
(1)
=8int_0^1int_0^(x_1)int_0^1int_0^(x_2)int_0^1int_0^(x_3)|-x_2y_1+x_3y_1+x_1y_2-x_3y_2-x_1y_3+x_2y_3|dy_3dx_3dy_2dx_2dy_1dx_1,
(2)

其中

Delta=1/(2!)|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|
(3)

是顶点为 (x_1,y_1)、(x_2,y_2) 和 (x_3,y_3) 的三角形的三角形面积。

可以使用计算机代数通过使用柱状代数分解分解积分区域来求解积分。这导致 62 个区域，其中 30 个区域具有不同的积分，每个区域都可以直接积分。然后将结果组合起来得到结果

A^_=1/(12)
(4)

（Pfiefer 1989；Zinani 2003）。

TriangleTrianglePickingDistribution

精确分布函数 D(A) 由 Philip 推导。P(A) 和 D(A) 由下式给出

P_1(A)=-1/(1+sqrt(1-4x)-4x)[4(-3(1+sqrt(1-4x))-3ln2+x[4pi^2(1+sqrt(1-4x)-4x)(1+x)+3(5+sqrt(1-4x)-22ln2+4x(-1+26ln2))]+[3+6(11-52x)x]ln(1+sqrt(1-4x))+3xlnx[-1+sqrt(1-4x)+(4+52sqrt(1-4x))x+3x(-1-sqrt(1-4x)+4x)lnx]3[ln2-ln(1+sqrt(1-4x))][sqrt(1-4x)(1+2(11-52x)x)+12(1+sqrt(1-4x)-4x)x(1+x) ×[ln2-ln(1+sqrt(1-4x))+lnx]])] P_2(A)=2[6-2pi^2x^2+pisqrt(4x-1)+26pixsqrt(4x-1)-6[-4pix(1+x)+sqrt(4x-1)(1+26x)]csc^(-1)(2sqrt(x))-72x(1+x)[csc^(-1)(2sqrt(x))]^2-3lnx-2x(3+pi^2+9lnx(4+lnx))] D_1(A)=8(2x^3+3x^2)[3ln((1+sqrt(1-4x))/2)×((1+sqrt(1-4x))/(2x))-(pi^2)/3]+2/5(324x^2+28x-1)[1/2lnx-ln((1+sqrt(1-4x))/2)]sqrt(1-4x)+12x^3(lnx)^2-(54x^2+6x-1/5)lnx-(57)/5x^2+(62)/5x D_2(A)=8(2x^3+3x^2)[2pi-3cos^(-1)(1/(2sqrt(x)))cos^(-1)(1/(2sqrt(x))) -(pi^2)/3]+2/5(324x^2+28x-1)[cos^(-1)(1/(2sqrt(x)))-pi/3]sqrt(1-4x)-18x^2(lnx)^2-(54x^2+6x-1/5)lnx-(57)/5x^2+(62)/5x,
(5)

其中下标 1 表示区域 0<=A<=1/4，2 表示区域 1/4<A<=1。

原始矩 mu_n^' 对于 P(A)，当 n=1, 2, ... 时分别为 1/12, 1/144, 31/9000, 1/450, 1063/617400, 403/264600, ... （OEIS A103474 和 A103475）。

中心矩 mu_n 对于 P(A)，当 n=1, 2, ... 时分别为 0, 1/144, 61/54000, 343/864000, 9493/66679200, ... （OEIS A130117 和 A130118）。

另请参阅

圆盘三角形拾取, 海尔布朗三角形问题, 六边形三角形拾取, 多边形三角形拾取, 正方形三角形拾取, 西尔维斯特四点问题, 四面体四面体拾取, 三角形面积, 三角形线段拾取, 三角形点拾取

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参考文献

Pfiefer, R. E. "The Historical Development of J. J. Sylvester's Four Point Problem." Math. Mag. 62, 309-317, 1989.Philip, J. "The Area of a Random Convex Polygon in a Triangle." Tech. Report TRITA MAT 05 MA 04. n.d. http://www.math.kth.se/~johanph/area2.pdf.Sloane, N. J. A. Sequences A103474, A103475, A130117, and A130118 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, S. "Question 1229." Mathematical Questions, with Their Solutions, from the Educational Times, Vol. 4. London: F. Hodgson and Son, p. 101, 1865.Zinani, A. "The Expected Volume of a Tetrahedron Whose Vertices are Chosen at Random in the Interior of a Cube." Monatshefte Math. 139, 341-348, 2003.

在 Wolfram|Alpha 中引用

三角形三角形拾取

引用为

Weisstein, Eric W. “三角形三角形拾取。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TriangleTrianglePicking.html

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