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无穷乘积

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一个乘积，包含无穷多的项。这类乘积可以收敛。事实上，对于正 a_n, 乘积 product_(n=1)^(infty)a_n 收敛到一个非零数，当且仅当 sum_(n=1)^(infty)lna_n 收敛。

无穷乘积可以用来定义余弦

cosx=product_(n=1)^infty[1-(4x^2)/(pi^2(2n-1)^2)],
(1)

伽玛函数

Gamma(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1),
(2)

正弦, 和 sinc 函数。它们也出现在多边形外切,

K=product_(n=3)^infty1/(cos(pi/n)).
(3)

欧拉提出的一个有趣的无穷乘积公式，它关联了 pi 和第 n 个素数 p_n 是

pi=2/(product_(n=1)^(infty)[1+(sin(1/2pip_n))/(p_n)])
(4)
=2/(product_(n=2)^(infty)[1+((-1)^((p_n-1)/2))/(p_n)])
(5)

(Blatner 1997). Knar's 公式 给出了 伽玛函数 Gamma(x) 关于无穷乘积的函数方程

Gamma(1+v)=2^(2v)product_(m=1)^infty[pi^(-1/2)Gamma(1/2+2^(-m)v)].
(6)

一个正则化乘积恒等式由下式给出

infty!=product_(k=1)^^^inftyk=sqrt(2pi)
(7)

(Muñoz Garcia 和 Pérez-Marco 2003, 2008).

梅林公式指出

product_(n=0)^infty(1+y/(n+x))e^(-y/(n+x))=(e^(ypsi_0(x))Gamma(x))/(Gamma(x+y)),
(8)

其中 psi_0(x) 是 双伽玛函数，而 Gamma(x) 是 伽玛函数。

以下类型的乘积

product_(n=2)^(infty)(n^2-1)/(n^2+1)=picschpi
(9)
product_(n=2)^(infty)(n^3-1)/(n^3+1)=2/3
(10)
product_(n=2)^(infty)(n^4-1)/(n^4+1)=-1/2pisinhpicsc[(-1)^(1/4)pi]csc[(-1)^(3/4)pi]
(11)
=(pisinh(pi))/(cosh(sqrt(2)pi)-cos(sqrt(2)pi))
(12)
product_(n=2)^(infty)(n^5-1)/(n^5+1)=(2Gamma(-(-1)^(1/5))Gamma((-1)^(2/5))Gamma(-(-1)^(3/5))Gamma((-1)^(4/5)))/(5Gamma((-1)^(1/5))Gamma(-(-1)^(2/5))Gamma((-1)^(3/5))Gamma(-(-1)^(4/5)))
(13)

(Borwein et al. 2004, pp. 4-6), 其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，第一个在 Borwein 和 Corless (1999) 中给出，可以进行解析计算。特别地，对于 r>1,

product_(n=1; n!=m)^infty(n^r-m^r)/(n^r+m^r)=(-1)^(m+1)(2mm!)/rproduct_(j=1)^(2r-1)[Gamma(-momega_r^j)]^((-1)^(j+1)),
(14)

其中 omega_k=e^(ipi/k) (Borwein et al. 2004, pp. 6-7)。目前尚不清楚 (13) 是否是代数的，但已知它不满足任何次数小于 21 且欧几里得范数小于 5×10^(18) 的整系数多项式 (Borwein et al. 2004, p. 7)。

以下形式的乘积可以进行解析计算，

product_(k=1)^infty((1+k^(-1))^2)/(1+2k^(-1))=2 product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)) =(3sqrt(2)cosh^2(1/2pisqrt(3))csch(pisqrt(2)))/pi product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2)+k^(-3))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)+4k^(-3))=(sinh^2piproduct_(i=1)^(3)Gamma(x_i))/(pi^2) product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2)+k^(-3)+k^(-4))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)+4k^(-3)+5k^(-4))=product_(i=1)^4(Gamma(y_i))/(Gamma^2(z_i)),
(15)

其中 x_i, y_i, 和 z_i 是以下方程的根

x^3-5x^2+10x-10=0
(16)
y^4-6y^3+15y^2-20y+15=0
(17)
z^4-5z^3+10z^2-10z+5=0,
(18)

分别地，也可以进行解析计算。请注意，(17) 和 (18) 是 Borwein 和 Corless (1999) 未知的。这些是以下结果的特例

product_(k=1)^infty(sum_(i=1)^(p)(a_i)/(k^i))/(sum_(i=0)^(q)(b_i)/(k^i))=(b_q)/(a_p)(product_(i=0)^(q)Gamma(-s_i))/(product_(i=0)^(p)Gamma(-r_i)),
(19)

如果 a_0=b_0=1 且 a_1=b_1, 其中 r_i 是 ith 个根 sum_(j=0)^(p)a_j/k^j 且 s_i 是 ith 个根 sum_(j=0)^(q)b_j/k^j (P. Abbott, 私人通讯., 3 月 30 日, 2006年).

对于 k>=2,

product_(n=2)^infty(1-1/(n^k))={1/(kproduct_(j=1)^(k-1)Gamma((-1)^(1+j(1+1/k)))) for k odd; (product_(j=1)^((k/2)-1)sin[pi(-1)^(2j/k)])/(k(pii)^((k/2)-1)) for k even
(20)

(D. W. Cantrell, 私人通讯., 4 月 18 日, 2006年). 前几个显式例子是

product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^2))=1/2
(21)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^3))=(cosh(1/2pisqrt(3)))/(3pi)
(22)
=1/(3Gamma((-1)^(1/3))Gamma(-(-1)^(2/3)))
(23)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^4))=(sinhpi)/(4pi)
(24)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^5))=1/(5Gamma((-1)^(1/5))Gamma(-(-1)^(2/5))Gamma((-1)^(3/5))Gamma(-(-1)^(4/5)))
(25)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^6))=(1+cosh(pisqrt(3)))/(12pi^2).
(26)

这些是一般公式的特例

product_(k=1)^infty(1-(x^n)/(k^n))=-1/(x^n)product_(k=0)^(n-1)1/(Gamma(-e^(2piik/n)x))
(27)

(Prudnikov et al. 1986, p. 754).

类似地，对于 k>=2,

product_(n=1)^infty(1+1/(n^k))={1/(product_(j=1)^(k-1)Gamma[(-1)^(j(1+1/k))]) for k odd; (product_(j=1)^(k/2)sin[pi(-1)^((2j-1)/k)])/((pii)^(k/2)) for k even
(28)

(D. W. Cantrell, 私人通讯., 3 月 29 日, 2006年). 前几个显式例子是

product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^2))=(sinhpi)/pi
(29)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^3))=1/picosh(1/2pisqrt(3))
(30)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^4))=(cosh(pisqrt(2))-cos(pisqrt(2)))/(2pi^2)
(31)
=-(sin[(-1)^(1/4)pi]sin[(-1)^(3/4)pi])/(pi^2)
(32)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^5))=|Gamma[exp(2/5pii)]Gamma[exp(6/5pii)]|^(-2)
(33)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^6))=(sinhpi[coshpi-cos(sqrt(3)pi)])/(2pi^3).
(34)

d-模拟 表达式

[infty!]_d=product_(n=3)^infty(1-(2^d)/(n^d))
(35)

也具有闭合形式的表达式，

product_(n=3)^(infty)(1-4/(n^2))=1/6
(36)
product_(n=3)^(infty)(1-8/(n^3))=(sinh(pisqrt(3)))/(42pisqrt(3))
(37)
product_(n=3)^(infty)(1-(16)/(n^4))=(sinh(2pi))/(120pi)
(38)
product_(n=3)^(infty)(1-(32)/(n^5))=|Gamma[exp(1/5pii)]Gamma[2exp(7/5pii)]|^(-2).
(39)

这类无穷乘积的一般表达式包括

product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N)]=(sin(piz))/(piz^(2N-1))product_(k=1)^(N-1)|Gamma(ze^(2pii(k-N)/(2N)))|^(-2)
(40)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N)]=1/(z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(pii[2(k-N)-1]/(2N)))|^(-2)
(41)
product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N+1)]=1/(Gamma(1-z)z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(pii[2(k-N)-1]/(2N+1)))|^(-2)
(42)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N+1)]=1/(Gamma(1+z)z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(2pii(k-N-1)/(2N+1)))|^(-2),
(43)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，而 |z| 表示 复模 (Kahovec). (40) 和 (41) 也可以改写为

product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N)]=(sin(piz))/(pi^3z^2)[(sinh(piz))/(piz)]^(mod(N+1,2))×product_(k=1)^([N/2]-1)cosh^2[pizsin((kpi)/N)]-cos^2[pizcos((kpi)/N)]
(44)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N)]=1/(pi^2z^2)[(sinh(piz))/(piz)]^(mod(N,2))×product_(k=1)^(|_N/2_|)cosh^2[pizsin(((2k-1)pi)/(2N))]-cos^2[pizcos(((2k-1)pi)/(2N))],
(45)

其中 |_x_| 是 向下取整函数, [x] 是 向上取整函数, 且 mod(a,m) 是 a (mod m) 的模 (Kahovec).

以下形式的无穷乘积

product_(k=1)^(infty)(1-1/(n^k))=(n^(-1))_infty
(46)
=n^(1/24)[1/2theta_1^'(0,n^(-1/2))]^(1/3)
(47)

当 n>1 时收敛，其中 (q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号，而 theta_n(z,q) 是一个 Jacobi theta 函数。这里，n=2 的情况正好是在数字树搜索分析中遇到的常数 Q。

其他乘积包括

product_(k=1)^(infty)(1+2/k)^((-1)^(k+1)k)=pi/(2e)
(48)
=0.57786367...
(49)
product_(k=0)^(infty)(1+e^(-(2k+1)pi))=2^(1/4)e^(-pi/24)
(50)
product_(k=3)^(infty)(1-(pi^2)/(2k^2))sec(pi/k)=0.86885742...
(51)

(OEIS A086056 和 A247559; Prudnikov et al. 1986, p. 757)。请注意，Prudnikov et al. (1986, p. 757) 也错误地给出了乘积

product_(k=1)^infty(1-e^(-2pik/sqrt(3)))=(e^(-2pi/sqrt(3)))_infty,
(52)

其中 (q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号，为 3^(1/4)e^(-pi/(6sqrt(3)))，这与正确结果相差 1.8×10^(-5)。

以下类似的乘积类型也可以进行解析计算 (J. Zúñiga, 私人通讯., 11 月 9 日, 2004年)，其中 theta_n(z,q) 仍然是一个 Jacobi theta 函数,

product_(k=1)^(infty)(1+1/(n^k))=n^(1/24)theta_4^(-1/2)(0,n^(-1))[1/2theta_1^'(0,n^(-1))]^(1/6)
(53)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-k))/(1+n^(-k)))=product_(k=1)^(infty)tanh(1/2klnn)
(54)
=theta_4(0,n^(-1))
(55)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-2k))/(1+n^(-2k)))^2=product_(k=1)^(infty)tanh^2(klnn)
(56)
=(theta_1^'(0,n^(-1)))/(theta_2(0,n^(-1)))
(57)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-2k+1))/(1+n^(-2k+1)))^2=product_(k=1)^(infty)tanh^2[(k-1/2)lnn]
(58)
=(theta_4(0,n^(-1)))/(theta_3(0,n^(-1)))
(59)
product_(k=1)^(infty)(1-1/(n^(2k-1)))=n^(-1/24)theta_4^(1/2)(0,n^(-1))[2/(theta_1^'(0,n^(-1)))]^(1/6)
(60)
product_(k=1)^(infty)(1+1/(n^(2k-1)))=n^(-1/24)theta_3^(1/2)(0,n^(-1))[2/(theta_1^'(0,n^(-1)))]^(1/6)
(61)
product_(k=1)^(infty)[1+(-1)^(k-1)b/(k+a)]=2^b_2F_1(a+b,b;a+1;-1)
(62)
=(sqrt(pi)Gamma(a+1))/(2^aGamma(1/2(2+b-a))Gamma(1/2(1+b+a))).
(63)

其中第一个可以用来以闭合形式表示斐波那契阶乘常数。

一类从 Barnes G-函数 导出的无穷乘积由下式给出

product_(n=1)^infty(1+z/n)^ne^(-z+z^2/(2n))=(G(z+1))/((2pi)^(z/2))e^([z(z+1)+gammaz^2]/2),
(64)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数。对于 z=1, 2, 3 和 4，显式乘积由下式给出

product_(n=1)^(infty)(1+1/n)^ne^(1/(2n)-1)=(e^(1+gamma/2))/(sqrt(2pi))
(65)
product_(n=1)^(infty)(1+2/n)^ne^(4/(2n)-2)=(e^(3+2gamma))/(2pi)
(66)
product_(n=1)^(infty)(1+3/n)^ne^(9/(2n)-3)=(e^(6+9gamma/2))/(sqrt(2)pi^(3/2))
(67)
product_(n=1)^(infty)(1+4/n)^ne^(16/(2n)-4)=(3e^(10+8gamma))/(pi^2).
(68)

有趣的恒等式

xproduct_(n=1)^infty((1-x^(2n))^8)/((1-x^(2n-1))^8)=sum_(n=1)^infty2^(3b(n))sigma_3(Od(n))x^n
(69)

(Ewell 1995, 2000), 其中 b(n) 是 2 的精确幂的指数，它整除 n, Od(n)=n/2^(b(n)) 是 n 的奇数部分, sigma_k(n) 是 n 的 除数函数，以及

product_(n=1)^(infty)(1+x^(2n-1))^8=product_(n=1)^(infty)(1-x^(2n-1))^8+16xproduct_(n=1)^(infty)(1+x^(2n))^8
(70)
=1+8x+28x^2+64x^3+134x^4+288x^5+...
(71)

(OEIS A101127; Jacobi 1829; Ford et al. 1994; Ewell 1998, 2000), 后者在弦理论物理文献中被称为 "aequatio identica satis abstrusa"，与 tau 函数 有关。

一个涉及 tanx 的意想不到的无穷乘积由下式给出

|product_(k=0)^infty[tan(2^kx)]^(1/(2^k))|=4sin^2x
(72)

(Dobinski 1876, Agnew 和 Walker 1947).

Gosper 首先注意到的一个奇特的恒等式由下式给出

product_(n=1)^(infty)1/e(1/(3n)+1)^(3n+1/2)=sqrt((Gamma(1/3))/(2pi))(3^(13/24)exp[1+(2pi^2-3psi_1(1/3))/(12pisqrt(3))])/(A^4)
(73)
=1.012378552722912...
(74)

(OEIS A100072), 其中 Gamma(z) 是 伽玛函数, psi_1(z) 是 三伽玛函数, 且 A 是 Glaisher-Kinkelin 常数。

另请参阅

Artin 常数, Barnes G-函数, 余弦, d-模拟, Dedekind Eta 函数, Dirichlet Eta 函数, Dobiński's 公式, Euler 恒等式, 欧拉-马歇罗尼常数, Euler 乘积, 斐波那契阶乘常数, 伽玛函数, Hadamard 乘积, Jacobi 三重乘积, Knar's 公式, 梅林公式, Mertens 定理, 五边形数定理, 多边形外切, 多边形内接, 幂塔, 素数乘积, Q-函数, q-级数, Riemann Zeta 函数, Sinc 函数, 正弦, Stephens' 常数, Wallis 公式

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上被引用

无穷乘积

请引用为

Weisstein, Eric W. "无穷乘积。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InfiniteProduct.html

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