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无穷乘积

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一个乘积，包含无穷多的项。这类乘积可以收敛。事实上，对于正 a_n, 乘积 product_(n=1)^(infty)a_n 收敛到一个非零数，当且仅当 sum_(n=1)^(infty)lna_n 收敛。

无穷乘积可以用来定义余弦

cosx=product_(n=1)^infty[1-(4x^2)/(pi^2(2n-1)^2)],
(1)

伽玛函数

Gamma(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1),
(2)

正弦, 和 sinc 函数。它们也出现在多边形外切,

K=product_(n=3)^infty1/(cos(pi/n)).
(3)

欧拉提出的一个有趣的无穷乘积公式，它关联了 pi 和第 n 个素数 p_n 是

pi=2/(product_(n=1)^(infty)[1+(sin(1/2pip_n))/(p_n)])
(4)
=2/(product_(n=2)^(infty)[1+((-1)^((p_n-1)/2))/(p_n)])
(5)

(Blatner 1997). Knar's 公式 给出了 伽玛函数 Gamma(x) 关于无穷乘积的函数方程

Gamma(1+v)=2^(2v)product_(m=1)^infty[pi^(-1/2)Gamma(1/2+2^(-m)v)].
(6)

一个正则化乘积恒等式由下式给出

infty!=product_(k=1)^^^inftyk=sqrt(2pi)
(7)

(Muñoz Garcia 和 Pérez-Marco 2003, 2008).

梅林公式指出

product_(n=0)^infty(1+y/(n+x))e^(-y/(n+x))=(e^(ypsi_0(x))Gamma(x))/(Gamma(x+y)),
(8)

其中 psi_0(x) 是 双伽玛函数，而 Gamma(x) 是 伽玛函数。

以下类型的乘积

product_(n=2)^(infty)(n^2-1)/(n^2+1)=picschpi
(9)
product_(n=2)^(infty)(n^3-1)/(n^3+1)=2/3
(10)
product_(n=2)^(infty)(n^4-1)/(n^4+1)=-1/2pisinhpicsc[(-1)^(1/4)pi]csc[(-1)^(3/4)pi]
(11)
=(pisinh(pi))/(cosh(sqrt(2)pi)-cos(sqrt(2)pi))
(12)
product_(n=2)^(infty)(n^5-1)/(n^5+1)=(2Gamma(-(-1)^(1/5))Gamma((-1)^(2/5))Gamma(-(-1)^(3/5))Gamma((-1)^(4/5)))/(5Gamma((-1)^(1/5))Gamma(-(-1)^(2/5))Gamma((-1)^(3/5))Gamma(-(-1)^(4/5)))
(13)

(Borwein et al. 2004, pp. 4-6), 其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，第一个在 Borwein 和 Corless (1999) 中给出，可以进行解析计算。特别地，对于 r>1,

product_(n=1; n!=m)^infty(n^r-m^r)/(n^r+m^r)=(-1)^(m+1)(2mm!)/rproduct_(j=1)^(2r-1)[Gamma(-momega_r^j)]^((-1)^(j+1)),
(14)

其中 omega_k=e^(ipi/k) (Borwein et al. 2004, pp. 6-7)。目前尚不清楚 (13) 是否是代数的，但已知它不满足任何次数小于 21 且欧几里得范数小于 5×10^(18) 的整系数多项式 (Borwein et al. 2004, p. 7)。

以下形式的乘积可以进行解析计算，

product_(k=1)^infty((1+k^(-1))^2)/(1+2k^(-1))=2 product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)) =(3sqrt(2)cosh^2(1/2pisqrt(3))csch(pisqrt(2)))/pi product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2)+k^(-3))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)+4k^(-3))=(sinh^2piproduct_(i=1)^(3)Gamma(x_i))/(pi^2) product_(k=1)^infty((1+k^(-1)+k^(-2)+k^(-3)+k^(-4))^2)/(1+2k^(-1)+3k^(-2)+4k^(-3)+5k^(-4))=product_(i=1)^4(Gamma(y_i))/(Gamma^2(z_i)),
(15)

其中 x_i, y_i, 和 z_i 是以下方程的根

x^3-5x^2+10x-10=0
(16)
y^4-6y^3+15y^2-20y+15=0
(17)
z^4-5z^3+10z^2-10z+5=0,
(18)

分别地，也可以进行解析计算。请注意，(17) 和 (18) 是 Borwein 和 Corless (1999) 未知的。这些是以下结果的特例

product_(k=1)^infty(sum_(i=1)^(p)(a_i)/(k^i))/(sum_(i=0)^(q)(b_i)/(k^i))=(b_q)/(a_p)(product_(i=0)^(q)Gamma(-s_i))/(product_(i=0)^(p)Gamma(-r_i)),
(19)

如果 a_0=b_0=1 且 a_1=b_1, 其中 r_i 是 ith 个根 sum_(j=0)^(p)a_j/k^j 且 s_i 是 ith 个根 sum_(j=0)^(q)b_j/k^j (P. Abbott, 私人通讯., 3 月 30 日, 2006年).

对于 k>=2,

product_(n=2)^infty(1-1/(n^k))={1/(kproduct_(j=1)^(k-1)Gamma((-1)^(1+j(1+1/k)))) for k odd; (product_(j=1)^((k/2)-1)sin[pi(-1)^(2j/k)])/(k(pii)^((k/2)-1)) for k even
(20)

(D. W. Cantrell, 私人通讯., 4 月 18 日, 2006年). 前几个显式例子是

product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^2))=1/2
(21)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^3))=(cosh(1/2pisqrt(3)))/(3pi)
(22)
=1/(3Gamma((-1)^(1/3))Gamma(-(-1)^(2/3)))
(23)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^4))=(sinhpi)/(4pi)
(24)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^5))=1/(5Gamma((-1)^(1/5))Gamma(-(-1)^(2/5))Gamma((-1)^(3/5))Gamma(-(-1)^(4/5)))
(25)
product_(n=2)^(infty)(1-1/(n^6))=(1+cosh(pisqrt(3)))/(12pi^2).
(26)

这些是一般公式的特例

product_(k=1)^infty(1-(x^n)/(k^n))=-1/(x^n)product_(k=0)^(n-1)1/(Gamma(-e^(2piik/n)x))
(27)

(Prudnikov et al. 1986, p. 754).

类似地，对于 k>=2,

product_(n=1)^infty(1+1/(n^k))={1/(product_(j=1)^(k-1)Gamma[(-1)^(j(1+1/k))]) for k odd; (product_(j=1)^(k/2)sin[pi(-1)^((2j-1)/k)])/((pii)^(k/2)) for k even
(28)

(D. W. Cantrell, 私人通讯., 3 月 29 日, 2006年). 前几个显式例子是

product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^2))=(sinhpi)/pi
(29)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^3))=1/picosh(1/2pisqrt(3))
(30)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^4))=(cosh(pisqrt(2))-cos(pisqrt(2)))/(2pi^2)
(31)
=-(sin[(-1)^(1/4)pi]sin[(-1)^(3/4)pi])/(pi^2)
(32)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^5))=|Gamma[exp(2/5pii)]Gamma[exp(6/5pii)]|^(-2)
(33)
product_(n=1)^(infty)(1+1/(n^6))=(sinhpi[coshpi-cos(sqrt(3)pi)])/(2pi^3).
(34)

d-模拟 表达式

[infty!]_d=product_(n=3)^infty(1-(2^d)/(n^d))
(35)

也具有闭合形式的表达式，

product_(n=3)^(infty)(1-4/(n^2))=1/6
(36)
product_(n=3)^(infty)(1-8/(n^3))=(sinh(pisqrt(3)))/(42pisqrt(3))
(37)
product_(n=3)^(infty)(1-(16)/(n^4))=(sinh(2pi))/(120pi)
(38)
product_(n=3)^(infty)(1-(32)/(n^5))=|Gamma[exp(1/5pii)]Gamma[2exp(7/5pii)]|^(-2).
(39)

这类无穷乘积的一般表达式包括

product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N)]=(sin(piz))/(piz^(2N-1))product_(k=1)^(N-1)|Gamma(ze^(2pii(k-N)/(2N)))|^(-2)
(40)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N)]=1/(z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(pii[2(k-N)-1]/(2N)))|^(-2)
(41)
product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N+1)]=1/(Gamma(1-z)z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(pii[2(k-N)-1]/(2N+1)))|^(-2)
(42)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N+1)]=1/(Gamma(1+z)z^(2N))product_(k=1)^(N)|Gamma(ze^(2pii(k-N-1)/(2N+1)))|^(-2),
(43)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，而 |z| 表示 复模 (Kahovec). (40) 和 (41) 也可以改写为

product_(n=1)^(infty)[1-(z/n)^(2N)]=(sin(piz))/(pi^3z^2)[(sinh(piz))/(piz)]^(mod(N+1,2))×product_(k=1)^([N/2]-1)cosh^2[pizsin((kpi)/N)]-cos^2[pizcos((kpi)/N)]
(44)
product_(n=1)^(infty)[1+(z/n)^(2N)]=1/(pi^2z^2)[(sinh(piz))/(piz)]^(mod(N,2))×product_(k=1)^(|_N/2_|)cosh^2[pizsin(((2k-1)pi)/(2N))]-cos^2[pizcos(((2k-1)pi)/(2N))],
(45)

其中 |_x_| 是 向下取整函数, [x] 是 向上取整函数, 且 mod(a,m) 是 a (mod m) 的模 (Kahovec).

以下形式的无穷乘积

product_(k=1)^(infty)(1-1/(n^k))=(n^(-1))_infty
(46)
=n^(1/24)[1/2theta_1^'(0,n^(-1/2))]^(1/3)
(47)

当 n>1 时收敛，其中 (q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号，而 theta_n(z,q) 是一个 Jacobi theta 函数。这里，n=2 的情况正好是在数字树搜索分析中遇到的常数 Q。

其他乘积包括

product_(k=1)^(infty)(1+2/k)^((-1)^(k+1)k)=pi/(2e)
(48)
=0.57786367...
(49)
product_(k=0)^(infty)(1+e^(-(2k+1)pi))=2^(1/4)e^(-pi/24)
(50)
product_(k=3)^(infty)(1-(pi^2)/(2k^2))sec(pi/k)=0.86885742...
(51)

(OEIS A086056 和 A247559; Prudnikov et al. 1986, p. 757)。请注意，Prudnikov et al. (1986, p. 757) 也错误地给出了乘积

product_(k=1)^infty(1-e^(-2pik/sqrt(3)))=(e^(-2pi/sqrt(3)))_infty,
(52)

其中 (q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号，为 3^(1/4)e^(-pi/(6sqrt(3)))，这与正确结果相差 1.8×10^(-5)。

以下类似的乘积类型也可以进行解析计算 (J. Zúñiga, 私人通讯., 11 月 9 日, 2004年)，其中 theta_n(z,q) 仍然是一个 Jacobi theta 函数,

product_(k=1)^(infty)(1+1/(n^k))=n^(1/24)theta_4^(-1/2)(0,n^(-1))[1/2theta_1^'(0,n^(-1))]^(1/6)
(53)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-k))/(1+n^(-k)))=product_(k=1)^(infty)tanh(1/2klnn)
(54)
=theta_4(0,n^(-1))
(55)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-2k))/(1+n^(-2k)))^2=product_(k=1)^(infty)tanh^2(klnn)
(56)
=(theta_1^'(0,n^(-1)))/(theta_2(0,n^(-1)))
(57)
product_(k=1)^(infty)((1-n^(-2k+1))/(1+n^(-2k+1)))^2=product_(k=1)^(infty)tanh^2[(k-1/2)lnn]
(58)
=(theta_4(0,n^(-1)))/(theta_3(0,n^(-1)))
(59)
product_(k=1)^(infty)(1-1/(n^(2k-1)))=n^(-1/24)theta_4^(1/2)(0,n^(-1))[2/(theta_1^'(0,n^(-1)))]^(1/6)
(60)
product_(k=1)^(infty)(1+1/(n^(2k-1)))=n^(-1/24)theta_3^(1/2)(0,n^(-1))[2/(theta_1^'(0,n^(-1)))]^(1/6)
(61)
product_(k=1)^(infty)[1+(-1)^(k-1)b/(k+a)]=2^b_2F_1(a+b,b;a+1;-1)
(62)
=(sqrt(pi)Gamma(a+1))/(2^aGamma(1/2(2+b-a))Gamma(1/2(1+b+a))).
(63)

其中第一个可以用来以闭合形式表示斐波那契阶乘常数。

一类从 Barnes G-函数 导出的无穷乘积由下式给出

product_(n=1)^infty(1+z/n)^ne^(-z+z^2/(2n))=(G(z+1))/((2pi)^(z/2))e^([z(z+1)+gammaz^2]/2),
(64)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数。对于 z=1, 2, 3 和 4，显式乘积由下式给出

product_(n=1)^(infty)(1+1/n)^ne^(1/(2n)-1)=(e^(1+gamma/2))/(sqrt(2pi))
(65)
product_(n=1)^(infty)(1+2/n)^ne^(4/(2n)-2)=(e^(3+2gamma))/(2pi)
(66)
product_(n=1)^(infty)(1+3/n)^ne^(9/(2n)-3)=(e^(6+9gamma/2))/(sqrt(2)pi^(3/2))
(67)
product_(n=1)^(infty)(1+4/n)^ne^(16/(2n)-4)=(3e^(10+8gamma))/(pi^2).
(68)

有趣的恒等式

xproduct_(n=1)^infty((1-x^(2n))^8)/((1-x^(2n-1))^8)=sum_(n=1)^infty2^(3b(n))sigma_3(Od(n))x^n
(69)

(Ewell 1995, 2000), 其中 b(n) 是 2 的精确幂的指数，它整除 n, Od(n)=n/2^(b(n)) 是 n 的奇数部分, sigma_k(n) 是 n 的 除数函数，以及

product_(n=1)^(infty)(1+x^(2n-1))^8=product_(n=1)^(infty)(1-x^(2n-1))^8+16xproduct_(n=1)^(infty)(1+x^(2n))^8
(70)
=1+8x+28x^2+64x^3+134x^4+288x^5+...
(71)

(OEIS A101127; Jacobi 1829; Ford et al. 1994; Ewell 1998, 2000), 后者在弦理论物理文献中被称为 "aequatio identica satis abstrusa"，与 tau 函数 有关。

一个涉及 tanx 的意想不到的无穷乘积由下式给出

|product_(k=0)^infty[tan(2^kx)]^(1/(2^k))|=4sin^2x
(72)

(Dobinski 1876, Agnew 和 Walker 1947).

Gosper 首先注意到的一个奇特的恒等式由下式给出

product_(n=1)^(infty)1/e(1/(3n)+1)^(3n+1/2)=sqrt((Gamma(1/3))/(2pi))(3^(13/24)exp[1+(2pi^2-3psi_1(1/3))/(12pisqrt(3))])/(A^4)
(73)
=1.012378552722912...
(74)

(OEIS A100072), 其中 Gamma(z) 是 伽玛函数, psi_1(z) 是 三伽玛函数, 且 A 是 Glaisher-Kinkelin 常数。

另请参阅

Artin 常数, Barnes G-函数, 余弦, d-模拟, Dedekind Eta 函数, Dirichlet Eta 函数, Dobiński's 公式, Euler 恒等式, 欧拉-马歇罗尼常数, Euler 乘积, 斐波那契阶乘常数, 伽玛函数, Hadamard 乘积, Jacobi 三重乘积, Knar's 公式, 梅林公式, Mertens 定理, 五边形数定理, 多边形外切, 多边形内接, 幂塔, 素数乘积, Q-函数, q-级数, Riemann Zeta 函数, Sinc 函数, 正弦, Stephens' 常数, Wallis 公式

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 75, 1972.Agnew, R. P. and Walker, R. J. "A Trigonometric Infinite Product." Amer. Math. Monthly 54, 206-211, 1947.Arfken, G. "Infinite Products." §5.11 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 346-351, 1985.Blatner, D. The Joy of Pi. New York: Walker, p. 119, 1997.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. "Two Products." §1.2 in Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 4-7, 2004.Borwein, J. M. and Corless, R. M. "Emerging Tools for Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 106, 899-909, 1999.Dobinski, G. "Product einer unendlichen Factorenreihe." Archiv Math. u. Phys. 59, 98-100, 1876.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, p. 6, 1981.Ewell, J. A. "Arithmetical Consequences of a Sextuple Product Identity." Rocky Mtn. J. Math. 25, 1287-1293, 1995.Ewell, J. A. "A Note on a Jacobian Identity." Proc. Amer. Math. Soc. 126, 421-423, 1998.Ewell, J. A. "New Representations of Ramanujan's Tau Function." Proc. Amer. Math. Soc. 128, 723-726, 2000.Finch, S. R. "Kepler-Bouwkamp Constant." §6.3 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 428-429, 2003.Ford, D.; McKay, J.; and Norton, S. P. "More on Replicable Functions." Commun. Alg. 22, 5175-5193, 1994.Hansen, E. R. A Table of Series and Products. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.Jacobi, C. G. J. "E formulis (7.),(8.) sequitur aequatio identica satis abstrusa: (14.) [(1-q)(1-q^3)(1-q^5)..]^8+16q[(1+q^2)(1+q^4)(1+q^6)..]^8=[(1+q)(1+q^3)(1+q^5)..]^8." Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg, Germany: Regiomonti, Sumtibus fratrum Borntraeger, 1829. Reprinted in Gesammelte Werke, Band. 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 147, 1969.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Infinite Products." §1.14 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 52-53, 1988.Krantz, S. G. "The Concept of an Infinite Product." §8.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 104-105, 1999.Muñoz García, E. and Pérez Marco, R. "The Product Over All Primes is 4pi^2." Preprint IHES/M/03/34. May 2003. http://inc.web.ihes.fr/prepub/PREPRINTS/M03/Resu/resu-M03-34.html.Muñoz García, E. and Pérez Marco, R. "The Product Over All Primes is 4pi^2." Commun. Math. Phys. 277, 69-81, 2008.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. "Infinite Products." §6.2 in Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions. New York: Gordon & Breach, pp. 753-757, 1986.Ritt, J. F. "Representation of Analytic Functions as Infinite Products." Math. Z. 32, 1-3, 1930.Sloane, N. J. A. Sequences A048651, A086056, A100072, A100220, A100221, A100222, A101127, and A247559 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Whittaker, E. T. and Watson, G. N. §7.5-7.6 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 上被引用

无穷乘积

请引用为

Weisstein, Eric W. "无穷乘积。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InfiniteProduct.html

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