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Khinchin 常数

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设

x=[a_0;a_1,...]=a_0+1/(a_1+1/(a_2+1/(a_3+...)))
(1)

为“一般”实数 x 的简单连分数，其中数字 a_i 是部分分母。Khinchin (1934) 考虑了几何平均数的极限

G_n(x)=(a_1a_2...a_n)^(1/n)
(2)

当 n->infty 时。令人惊讶的是，除了测度为 0 的集合外，此极限是一个常数，独立于 x，由下式给出

K=2.685452001...
(3)

(OEIS A002210)，如 Kac (1959) 所证明。

该常数被称为 Khinchin 常数，通常也拼写为 “Khintchine 常数”（Shanks 和 Wrench 1959，Bailey等人 1997）。

它被实现为Khinchin，其值被缓存到 1100 位精度。然而，K 的数值以高精度计算非常困难，因此计算更多位数会越来越慢。

尚不清楚 K 是否是无理数，更不用说超越数了。

虽然已知几乎所有数字 x 的极限 G_n(x) 趋近于 K，但对于任何显式实数 x，例如，以基本常数表示的实数，尚未证明此事实（Bailey等人 1997）。

KhinchinsConstant

上面绘制了 (a_1,a_2,...,a_n)^(1/n) 的值，对于 n=1 到 500 以及 x=pi、sin1、欧拉-马歇罗尼常数 gamma 和 Copeland-Erdős 常数 C。有趣的是，曲线的形状几乎与 Lévy 常数的相应曲线相同。

如果 p_n/q_n 是 nth 收敛子 的 连分数 x，则

lim_(n->infty)q_n^(1/n)=lim_(n->infty)((p_n)/x)^(1/n)
(4)
=e^(pi^2/(12ln2))
(5)
=3.27582...
(6)

(OEIS A086702) 对于几乎所有实数 x (Lévy 1936, Finch 2003)，其中 ln2 是 2 的自然对数。这个数字有时被称为 Lévy 常数。

K 的乘积表达式包括

K=product_(n=1)^infty[1+1/(n(n+2))]^(lnn/ln2)
(7)

(Shanks 和 Wrench 1959；Khinchin 1997，第 93 页；Borwein 和 Bailey 2003，第 25 页；Havil 2003，第 161 页)，其中 lnn 是自然对数，以及

product_(k=1)^inftyk!^(Delta_k^3)lnk=K^(ln2),
(8)

其中 Delta_k^3 是三阶有限差分算子，后者是通过对通常乘积定义的（对数）应用三次分部求和获得的（W. Gosper，私人通信，2017 年 11 月 14 日）。

通过取两边的对数并使用 lnproduct_(k)a_k^(p_k)=sum_(k)p_klna_k，可以将此类乘积转换为和。K 的和包括

K=exp[1/(ln2)sum_(m=1)^infty(H_(2m-1)^'[zeta(2m)-1])/m],
(9)

其中 zeta(z) 是黎曼 zeta 函数，H_n^' 是交错调和数 (Bailey等人 1997)，

K=exp[1/(ln2)sum_(k=2)^infty((-1)^k(2-2^k)zeta^'(k))/k],
(10)

其中 zeta^'(z) 是 导数 的 黎曼 zeta 函数 (Gosper，私人通信，1996 年 6 月 25 日)，而 Gosper 最初提出的（私人通信，1996 年 6 月 25 日）且由 O. Pavlyk (私人通信，2006 年 4 月 24 日) 简化的极速收敛和由下式给出

K=exp{-zeta^'(2,2)+1/(ln2)[sum_(k=2)^infty2(-1)^kf(k)]},
(11)

其中

f(k)=(lnk)/((k+2)k^(k+2))[2^(k+1)_2F_1(1,k+2;k+3;-2/k)-_2F_1(1,k+2;k+3;-1/k)]+((2^k-1)zeta^'(k+1,k))/(k+1),
(12)

zeta(s,a) 是 Hurwitz zeta 函数，zeta^'(s,a)=partialzeta/partials，以及 _2F_1(a,b;c;z) 是 超几何函数。

Khinchin 常数也由积分给出

K=2exp{1/(ln2)int_0^11/(x(1+x))ln[(pix(1-x^2))/(sin(pix))]dx}
(13)
=2exp[1/(ln2)int_0^11/(x(1+x))ln[Gamma(2-x)Gamma(2+x)]dx]
(14)

(Shanks 和 Wrench 1959) 和

K=exp[(pi^2)/(12ln2)+1/2ln2+1/(ln2)int_0^pi(ln(theta|cottheta|)dtheta)/theta].
(15)

Corless (1992) 表明

lnK=int_0^1(ln|_x^(-1)_|)/((x+1)ln2)dx,
(16)

对于 Lévy 常数，有一个类似的公式。

KhinchinsConstant2

实数 x，对于这些实数，lim_(n->infty)G_n(x)!=K 包括 x=e、sqrt(2)、sqrt(3) 和 黄金比例 phi，如上图所示。

令人惊奇的是，常数 K 只是由下式定义的一类均值的极限情况 K=K_0

K_p=lim_(n->infty)((a_1^p+a_2^p+...+a_n^p)/n)^(1/p)
(17)

对于实数 p<1，其值由下式给出

K_p={sum_(k=1)^infty-k^plg[1-1/((k+1)^2)]}^(1/p)
(18)

(Ryll-Nardzewski 1951；Bailey等人 1997；Khinchin 1997)。K_p 的积分表示由下式给出

K_p=[1/(ln2)int_0^1(|_1/t_|^p)/(t+1)dt]^(1/p)
(19)
=[1/(ln2)sum_(k=1)^(infty)k^pln(1+1/(k(k+2)))]^(1/p)
(20)

对于 p=-1、-2、... (Iosifescu 和 Kraaikamp 2002，第 231 页)。

常数

K_(-1)=lim_(n->infty)n/(a_1^(-1)+a_2^(-1)+...+a_n^(-1))
(21)

有时被称为Khinchin 调和平均数，并且是 p=-1 情况下的无限常数族，其中 K=K_0 和 K_(-1) 是前两个成员。

根据第 k 个部分商 q_k 定义以下量

M(s,n,x)=(1/nsum_(k=1)^nq_k^s)^(1/s).
(22)

然后

lim_(n->infty)M(1,n,x)=infty
(23)

对于几乎所有实数 x (Khintchine 1934, 1936, Knuth 1981, Finch 2003)，以及

M(1,n,x)∼O(lnn).
(24)

此外，对于 s<1，极限值

lim_(n->infty)M(s,n,x)=K(s)
(25)

存在并且是概率为 1 的常数 K(s) (Rockett 和 Szüsz 1992, Khinchin 1997)。

另请参阅

连分数, 收敛子, Gauss-Kuzmin-Wirsing 常数, Khinchin 常数近似, Khinchin 常数连分数, Khinchin 常数数字, Khinchin 调和平均数, Lévy 常数, Lochs' 常数, Lochs' 定理, 部分分母, 简单连分数

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/Constants/Khinchin/

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Crandall, R. E. "关于 Khintchine 常数。" Math. Comput. 66, 417-431, 1997.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; 和 Weisstein, E. W. "实验数学中的十个问题。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Corless, R. M. "连分数与混沌。" Amer. Math. Monthly 99, 203-215, 1992.Finch, S. R. "Khintchine-Lévy 常数。" §1.8 在 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 59-65, 2003.Gosper, R. W. "更简单的 Khinchine [was: Re: my two cents]" [email protected] 邮件列表。1996 年 6 月 25 日。Havil, J. Gamma: 探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 159, 2003.Iosifescu, M. 和 Kraaikamp, C. 连分数度量理论。 Amsterdam, Netherlands: Kluwer, 2002.Kac, M. 概率、分析和数论中的统计独立性。 Providence, RI: Math. Assoc. Amer., 1959.Khinchin, A. Ya. "平均值。" §16 在 连分数。 New York: Dover, pp. 86-94, 1997.Khintchine, A. "Metrische Kettenbruchprobleme." Compositio Math. 1, 361-382, 1934.Khintchine, A. "Metrische Kettenbruchprobleme." Compositio Math. 2, 276-285, 1936.Knuth, D. E. 练习 24 在 计算机程序设计艺术，第 2 卷：半数值算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 604, 1998.Le Lionnais, F. 卓越数。 Paris: Hermann, p. 46, 1983.Lehmer, D. H. "关于 Khintchine 的一个绝对常数的注释。" Amer. Math. Monthly 46, 148-152, 1939.Lévy, P. "关于概率定律，取决于一个连分数的完全和不完全商。" Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.Lévy, P. "关于随机选择的数字的连分数展开。" Compositio Math. 3, 286-303, 1936. 重印于 Œuvres de Paul Lévy, Vol. 6. Paris: Gauthier-Villars, pp. 285-302, 1980.Phillipp, W. "数论中的一些度量定理。" Pacific J. Math. 20, 109-127, 1967.Rockett, A. M. 和 Szüsz, P. 连分数。 Singapore: World Scientific, 1992.Ryll-Nardzewski, C. "关于遍历定理 (I,II)." Studia Math. 12, 65-79, 1951.Shanks, D. "注释 MTE 164。" Math. Tables Aids Comput. 4, 28, 1950.Shanks, D. 和 Wrench, J. W. Jr. "Khintchine 常数。" Amer. Math. Monthly 66, 148-152, 1959.Sloane, N. J. A. 序列 A002210/M1564, A002211/M0118, A086702, A087491, A087492, A087493, A087494, A087495, A087496, A087497, A087498, A087499, 和 A087500 在 "整数序列在线百科全书" 中。Vardi, I. "Khinchin 常数。" §8.4 在 Mathematica 中的计算娱乐。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 163-171, 1991.Wrench, J. W. Jr. "Khinchin 常数的进一步评估。" Math. Comput. 14, 370-371, 1960.Wrench, J. W. Jr. 和 Shanks, D. "关于 Khintchine 常数和正则连分数的高效计算的问题。" Math. Comput. 20, 444-448, 1966.

在 Wolfram|Alpha 上引用

Khinchin 常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Khinchin 常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KhinchinsConstant.html

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