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q-Polygamma 函数

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q-digamma 函数 psi_q(z)，也记作 psi_q^((0))(z)，定义为

psi_q(z)=1/(Gamma_q(z))(partialGamma_q(z))/(partialz),
(1)

其中 Gamma_q(z) 是 q-伽玛函数。它也由以下求和式给出

psi_q(z)=-ln(1-q)+lnqsum_(n=0)^infty(q^(n+z))/(1-q^(n+z)).
(2)

q-polygamma 函数 psi_q^n(z) (也记作 psi_q^((n))(z)) 定义为

psi_q^((n))(z)=(partial^npsi_q(z))/(partialz^n).
(3)

它在 Wolfram 语言 中实现为QPolyGamma[n, z, q]，其中 q-digamma 函数实现为特殊情况QPolyGamma[z, q]。

某些类型的和可以使用 q-polygamma 函数以闭合形式表示，包括

sum_(k=1)^(infty)1/(1-a^k)=(psi_(1/a)(1)+ln(a-1)+ln(1/a))/(lna)
(4)
sum_(k=0)^(infty)1/(coshk+1)=2[1-psi_e^((1))(-ipi)].
(5)

q-polygamma 函数与 Lambert 级数 相关

L(beta)=sum_(n=1)^(infty)(beta^n)/(1-beta^n)
(6)
=sum_(n=1)^(infty)1/(beta^(-n)-1)
(7)
=(psi_q(1)+ln(1-q))/(lnq)
(8)

(Borwein 和 Borwein 1987，第 91 和 95 页)。

一个连接 q-polygamma 函数与椭圆函数的恒等式由下式给出

pi-i[psi_(phi^2)^((0))(1/2-(ipi)/(4lnphi))-psi_(phi^2)^((0))(1/2+(ipi)/(4lnphi))] =-(lnphi)theta_2^2(phi^(-2)),
(9)

其中 phi 是 黄金比例，而 theta_n(q) 是 雅可比 theta 函数。

另请参阅

False Logarithmic Series，Polygamma 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. "Evaluation of Sums of Reciprocals of Fibonacci Sequences." §3.7 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 第 91-101 页，1987 年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

q-Polygamma 函数

引用为

Weisstein, Eric W. "q-Polygamma 函数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/q-PolygammaFunction.html

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