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置信区间

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置信区间是一个测量值或试验落入的区间，对应于给定的概率。通常，感兴趣的置信区间是对称地放置在均值周围的，因此对称概率密度函数的 50% 置信区间将是区间 [-a,a] 使得

1/2=int_(-a)^aP(x)dx.
(1)
ConfidenceIntervalProbability

对于正态分布，测量值落在均值mu的n个标准差（nsigma）内（即，在区间[mu-nsigma,mu+nsigma]内）的概率由下式给出

P(mu-nsigma<x<mu+nsigma)=1/(sigmasqrt(2pi))int_(mu-nsigma)^(mu+nsigma)e^(-(x-mu)^2/(2sigma^2))dx
(2)
=2/(sigmasqrt(2pi))int_mu^(mu+nsigma)e^(-(x-mu)^2/(2sigma^2))dx.
(3)

现在令u=(x-mu)/sqrt(2)sigma，所以du=dx/sqrt(2)sigma。那么

P(mu-nsigma<x<mu+nsigma)=2/(sigmasqrt(2pi))sqrt(2)sigmaint_0^(n/sqrt(2))e^(-u^2)du
(4)
=2/(sqrt(pi))int_0^(n/sqrt(2))e^(-u^2)du
(5)
=erf(n/(sqrt(2))),
(6)

其中erf(x)是所谓的误差函数。下表总结了对于x_n=nsigma，当n值较小时，来自正态分布的测量值落在[mu-x_n,mu+x_n]内的概率P(mu-x_n<x<mu+x_n)。

x_nP(mu-x_n<x<mu+x_n)
sigma0.6826895
2sigma0.9544997
3sigma0.9973002
4sigma0.9999366
5sigma0.9999994
ConfidenceIntervals

相反，要找到以sigma为单位的正态分布的概率-P置信区间，解方程 (5) 中的n得到

n=sqrt(2)erf^(-1)(P),
(7)

其中erf^(-1)(x)是反误差函数。下表给出了x_P的值，使得对于一些有代表性的P值，[mu-x_P,mu+x_P]是概率-P置信区间。这些值可以通过以下方式返回NormalCI[0, 1, ConfidenceLevel -> P] 在 Wolfram 语言 包中HypothesisTesting` .

Px_P
0.8001.28155sigma
0.9001.64485sigma
0.9501.95996sigma
0.9902.57583sigma
0.9952.80703sigma
0.9993.29053sigma

另请参阅

置信限, Alpha 值, 误差函数, 反误差函数, 正态分布, P 值, 显著性, 标准差 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. “二项分布参数的置信限”和“置信区间图表。” §11.4 和 11.5 在 统计数学，第 1 部分，第 3 版 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 167-169, 1962年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

置信区间

请引用为

Weisstein, Eric W. “置信区间。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConfidenceInterval.html

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