轮廓积分

轮廓积分是在复平面内，沿着给定轮廓计算轮廓积分值的过程。由于全纯函数的一个非常神奇的性质，这些积分可以很容易地通过简单地求和轮廓内部的复残数的值来计算。

设 和 是多项式，其多项式次数分别为 和 ，系数分别为 , ..., 和 , ..., 。取轮廓在上半平面，将 替换为 ，并写成 。然后

(1)

定义一条路径 ，它沿着实轴从 到 直线，并做一个半圆弧连接复平面上半部分的两个端点。留数定理给出

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其中 表示复残数。解得，

(5)

定义

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并设

(10)

那么方程 (9) 变为

(11)

现在，

(12)

对于 。这意味着对于 ，或 ，，所以

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对于 。应用 若尔当引理，其中 。我们必须有

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所以我们要求 。

那么

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对于 和 。由于这必须分别对实部和虚部成立，因此这个结果可以推广到

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