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三角形线段选取

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Isosceles triangle triangle line picking

考虑由任意三角形 Delta(a,b,c) 内部随机选取的两个点确定的线段的平均长度，其中三角形的边长为 a、 b 和 c。这个问题不是 仿射 的，但是可以使用 Borel 的重叠技术将四重积分简化为二重积分，然后转换为 极坐标，从而找到一个关于原始三角形的 面积 或线性性质的简单公式，得到以下优美的通用公式

l^__(Delta(a,b,c))=(4ss_as_bs_c)/(15)[1/(a^3)ln(s/(s_a))+1/(b^3)ln(s/(s_b))+1/(c^3)ln(s/(s_c))]+(a+b+c)/(15)+((b+c)(b-c)^2)/(30a^2)+((c+a)(c-a)^2)/(30b^2)+((a+b)(a-b)^2)/(30c^2)
(1)

(A. G. Murray，私人通信，2020 年 4 月 4 日), 其中 s=(a+b+c)/2 是 半周长，而 s_i=s-i。奇数矩的公式形式与均值相似，但 a、 b、 c 和 三角形面积 Delta=sqrt(ss_as_bs_c) 的幂次更高。

这个公式立即给出了以下特殊情况，这些特殊情况最初是通过暴力计算机代数获得的。

Equilateral triangle line picking
EquilateralTriangleLinePickingDistribution

如果原始三角形被选择为边长为单位长度的 等边三角形，那么在其内部随机选择端点的线段的平均长度由下式给出

l^__(Delta(1,1,1))=(int_0^1int_0^1int_0^(sqrt(3)(1/2-|x_1-1/2|))int_0^(sqrt(3)(1/2-|x_2-1/2|))sqrt((x_1^2-x_2^2)^2+(y_1^2-y_2^2)^2)dy_2dy_1dx_2dx_1)/(int_0^1int_0^1int_0^(sqrt(3)(1/2-|x_1-1/2|))int_0^(sqrt(3)(1/2-|x_2-1/2|))dy_2dy_1dx_2dx_1)
(2)
=(16)/3int_0^1int_0^1int_0^(sqrt(3)(1/2-|x_1-1/2|))int_0^(sqrt(3)(1/2-|x_2-1/2|))sqrt((x_1^2-x_2^2)^2+(y_1^2-y_2^2)^2)dy_2dy_1dx_2dx_1.
(3)
TriangleLinePickingRegions

被积函数可以分成四个部分

I_1=int_0^(1/2)int_0^(1/2)int_0^(x_1sqrt(3))int_0^(x_2sqrt(3))sqrt((x_1^2-x_2^2)^2+(y_1^2-y_2^2)^2)dy_2dy_1dx_2dx_1
(4)
I_2=int_0^(1/2)int_(1/2)^1int_0^(x_1sqrt(3))int_0^((1-x_2)sqrt(3))sqrt((x_1^2-x_2^2)^2+(y_1^2-y_2^2)^2)dy_2dy_1dx_2dx_1
(5)
I_3=int_(1/2)^1int_0^(1/2)int_0^((1-x_1)sqrt(3))int_0^(x_2sqrt(3))sqrt((x_1^2-x_2^2)^2+(y_1^2-y_2^2)^2)dy_2dy_1dx_2dx_1
(6)
I_4=int_(1/2)^1int_(1/2)^1int_0^((1-x_1)sqrt(3))int_0^((1-x_2)sqrt(3))sqrt((x_1^2-x_2^2)^2+(y_1^2-y_2^2)^2)dy_2dy_1dx_2dx_1.
(7)

如上所示，对称性立即给出 I_2=I_3 和 I_1=I_4, 所以

l^__(eq.)=(32)/3(I_1+I_2).
(8)

经过一些努力，积分 I_1 和 I_2 可以解析完成，从而给出最终的优美结果

l^__(Delta(1,1,1))=1/(20)(4+3ln3)
(9)
=0.364791843300...
(10)

(OEIS A093064; E. W. Weisstein, 2004 年 3 月 16 日)。

IsoscelesRightTriangleLinePickingDistribution

如果原始三角形被选择为两条直角边为单位长度的 等腰直角三角形，那么在其内部随机选择端点的线段的平均长度由下式给出

l^__(Delta(1,1sqrt(2)))=4int_0^1int_0^1int_0^(1-x_1)int_0^(1-x_2)sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)dy_2dy_1dx_2dx_1
(11)
=1/(30)[2+4sqrt(2)+(4+sqrt(2))sinh^(-1)1]
(12)
=1/(60)(4+8sqrt(2)+sqrt(2)cosh^(-1)3+8sinh^(-1)1)
(13)
=0.414293...
(14)

(OEIS A093063; M. Trott，私人通信，2004 年 3 月 10 日)，这个数值结果出人意料地接近 sqrt(2)-1=0.414213...。

在 3, 4, 5 三角形 中随机选取的线段的平均长度由下式给出

l^__(Delta(3,4,5))=(341)/(375)+(48)/5((ln2)/(3^3)+(ln3)/(4^3)+(ln6)/(5^3))
(15)
=(341)/(375)+(2432ln2)/(5625)+(567ln3)/(2500)
(16)
=1.4581846...
(17)

(E. W. Weisstein, 2010 年 8 月 6-9 日；OEIS A180307)。

E. W. Weisstein (2010 年 8 月 5 日) 计算了在斜边为单位长度的 30-60-90 三角形 中随机选取的线段的平均长度，结果是一个涉及对数和的复杂解析表达式。经过简化，结果可以写成

l^__(30-60-90)=(17)/(20)+(sqrt(3))/(40)+(9ln3)/(160)+(9+8sqrt(3))/(720)ln(2+sqrt(3))
(18)
=0.2885717...
(19)

(E. Weisstein, M. Trott, A. Strzebonski，私人通信，2010 年 8 月 25 日；OEIS A180308)。

从一般三角形中的随机点到长度为 a 的边所对的顶点 A 的期望距离为

d_(Delta(a,b,c),A)=(4s(s-a)(s-b)(s-c))/(3a^3)ln(s/(s_a))+(b+c)/6+((b+c)(b-c)^2)/(6a^2)
(20)

(A. G. Murray，私人通信，2020 年 4 月 4 日)，对于 d_(Delta(a,b,c),B) 和 d_(Delta(a,b,c),C) 存在类似的表达式。这些给出了以下优美的恒等式

l_(Delta(a,b,c))=1/5[d_(Delta(a,b,c),A)+d_(Delta(a,b,c),B)+d_(Delta(a,b,c),C)]
(21)

(A. G. Murray，私人通信，2020 年 4 月 4 日)。

另请参阅

等边三角形, 等腰直角三角形, 正方形线段选取, 三角形点选取, 三角形与三角形选取

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参考文献

Pure, R.; Durran, S.; Tong, F.; Pan, J. "任意多边形中两个随机点之间的距离分布。" 即将发表于 Math. Meth. Appl. Sci.Sheng, T. .K. "平面区域中两个随机点之间的距离。" Adv. Appl. Prob. 17, 748-773, 1985.Sloane, N. J. A. 序列 A093063, A093064, A180307, 和 A180308 ，收录于 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

三角形线段选取

请引用为

Weisstein, Eric W. "三角形线段选取。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TriangleLinePicking.html

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