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余弦

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Trigonometry
Cos

余弦函数 cosx 是在三角学中遇到的基本函数之一（其他的有余割、余切、正割、正弦和正切）。设 theta 是从 x 轴沿单位圆的弧逆时针测量的角。那么 costheta 是弧端点的水平坐标。

CosineDiagram

在直角三角形中，角 theta 的余弦的常见教科书定义（与刚刚给出的定义等效）是三角形邻边长度与斜边的比率，即：

costheta=(adjacent)/(hypotenuse).
(1)

记住 正弦、余弦和 正切 定义的方便记忆口诀是 SOHCAHTOA（正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边）。

由于其定义，余弦函数是周期函数，周期为 2pi。根据 勾股定理，costheta 也服从恒等式

sin^2theta+cos^2theta=1.
(2)
CosReImAbs
最小值 最大值
实部
虚部 Powered by webMathematica

余弦函数的定义可以扩展到复数自变量 z，使用定义

cosz=1/2(e^(iz)+e^(-iz)),
(3)

其中 e 是自然对数的底，i 是虚数。余弦是一个整函数，并在 Wolfram 语言中实现为Cos[z].

一个相关的函数，称为双曲余弦，也类似地定义为：

coshz=1/2(e^z+e^(-z)).
(4)

余弦函数在 0.739085... (OEIS A003957) 处有一个不动点，这个值有时被称为 Dottie 数 (Kaplan 2007)。

余弦函数可以用无穷级数解析地定义为

cosx=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nx^(2n))/((2n)!)
(5)
=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!)+...,
(6)

或无穷乘积

cosx=product_(n=1)^infty[1-(4x^2)/(pi^2(2n-1)^2)].
(7)
CosineHardy

对于 x in [0,1]，cos(pix/2) 的一个近似值是

H(x)=1-(x^2)/(x+(1-x)sqrt((2-x)/3))
(8)
approx cos(pi/2x)
(9)

(Hardy 1959)，其中 cos(pix/2) 和 Hardy 近似值之间的差异如上图所示。

余弦服从以下恒等式

cos(ntheta)=2costhetacos[(n-1)theta]-cos[(n-2)theta]
(10)

以及多倍角公式

cos(nx)=sum_(k=0)^n(n; k)cos^kxsin^(n-k)xcos[1/2(n-k)pi],
(11)

其中 (n; k) 是二项式系数。它通过以下方式与 tan(x/2) 相关

cosx=(1-tan^2(1/2x))/(1+tan^2(1/2x))
(12)

(Trott 2006, p. 39)。

从 n=0 到 N 的 cos(nx) 求和可以闭合形式完成，如下所示：

sum_(n=0)^(N)cos(nx)=R[sum_(n=0)^(N)e^(inx)]
(13)
=R[(e^(i(N+1)x)-1)/(e^(ix)-1)]
(14)
=R[(e^(i(N+1)x/2))/(e^(ix/2))(e^(i(N+1)x/2)-e^(-i(N+1)x/2))/(e^(ix/2)-e^(-ix/2))]
(15)
=(sin[1/2(N+1)x])/(sin(1/2x))R[e^(iNx/2)]
(16)
=(cos(1/2Nx)sin[1/2(N+1)x])/(sin(1/2x)).
(17)

类似地，

sum_(n=0)^inftyp^ncos(nx)=R[sum_(n=0)^inftyp^ne^(inx)],
(18)

其中 |p|<1。指数和公式给出

sum_(n=0)^(infty)p^ncos(nx)=R[(1-pe^(-ix))/(1-2pcosx+p^2)]
(19)
=(1-pcosx)/(1-2pcosx+p^2).
(20)

cos^2(kx) 的和也可以闭合形式完成，

sum_(k=0)^Ncos^2(kx)=1/4{3+2N+cscxsin[x(1+2N)]}.
(21)

cos(2pik_0x) 的傅里叶变换由下式给出

F_x[cos(2pik_0x)](k)=int_(-infty)^inftye^(-2piikx)cos(2pik_0x)dx
(22)
=1/2[delta(k-k_0)+delta(k+k_0)],
(23)

其中 delta(k) 是delta 函数。

Cvijović 和 Klinowski (1995) 指出以下级数

C_nu(alpha)=sum_(k=0)^infty(cos(2k+1)alpha)/((2k+1)^nu)
(24)

当 nu=2n 时有闭合形式，

C_(2n)(alpha)=((-1)^n)/(4(2n-1)!)pi^(2n)E_(2n-1)(alpha/pi),
(25)

其中 E_n(x) 是欧拉多项式。

涉及 cosx 的定积分由下式给出

int_0^inftycos(x^n)dx=Gamma(1+1/n)cos(pi/(2n))
(26)

对于 n>1，其中 Gamma(z) 是伽玛函数 (T. Drane, 私人通信，2006 年 4 月 21 日)。

另请参阅

Cis, Dottie Number, 初等函数, 欧拉多项式, 指数和公式, 傅里叶变换--余弦, 双曲余弦, 反余弦, 正割, 正弦, SOHCAHTOA, 正切, 三角函数, 三角学 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cos/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). "Circular Functions." §4.3 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 71-79, 1972.Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 215, 1987.Cvijović, D. 和 Klinowski, J. "Closed-Form Summation of Some Trigonometric Series." Math. Comput. 64, 205-210, 1995.Hansen, E. R. 级数与乘积表。 Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和工作启发的十二讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 68, 1959.Jeffrey, A. "Trigonometric Identities." §2.4 in 数学公式与积分手册，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 111-117, 2000.Kaplan, S. R. "The Dottie Number." Math. Mag. 80, 73-74, 2007.Project Mathematics. "Sines and Cosines, Parts I-III." Videotape. http://www.projectmathematics.com/sincos1.htm.Sloane, N. J. A. Sequence A003957 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Sine sin(x) and Cosine cos(x) Functions." Ch. 32 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 295-310, 1987.Tropfke, J. Teil IB, §1. "Die Begriffe des Sinus und Kosinus eines Winkels." In Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung mit besonderer Berücksichtigung der Fachwörter, fünfter Band, zweite aufl. Berlin and Leipzig, Germany: de Gruyter, pp. 11-23, 1923.Trott, M. Mathematica 符号指南。 New York: Springer-Verlag, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Zwillinger, D. (编辑). "Trigonometric or Circular Functions." §6.1 in CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 452-460, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

余弦

引用为

Weisstein, Eric W. "余弦。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cosine.html

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