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Pi 近似值

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收敛项 pi 连分数 是 pi 最简单的近似值。前几个由 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, ... (OEIS A002485 和 A002486) 给出，它们的精度分别为 0, 2, 4, 6, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, ... (OEIS A114526) 位十进制数字。

以下两个近似值来自近-恒等函数 3sinx/(2+cosx) 在 x=pi/4 和 pi/8 处求值，得到

pi approx (12)/7(2sqrt(2)-1)
(1)
approx (24sqrt(2-sqrt(2)))/(4+sqrt(2+sqrt(2))),
(2)

它们的精度分别为 2 位和 3 位数字。科钦斯基近似 是以下方程的 根：

9x^4-240x^2+1492
(3)

由下式给出

pi approx sqrt((40)/3-sqrt(12)) approx 3.141533,
(4)

精度为 4 位数字。

另一个有趣的现象是 几乎是整数

e^pi-pi=19.999099979...,
(5)

也可以写成

(pi+20)^i=-0.9999999992-0.0000388927i approx -1
(6)
cos(ln(pi+20)) approx -0.9999999992.
(7)

这里，e^pi 是 格尔丰德常数。再应用几次 余弦 函数得到

cos(picos(picos(ln(pi+20)))) approx -1+3.9321609261×10^(-35).
(8)

另一个涉及 e 的近似值由下式给出

pi approx sqrt(4e-1),
(9)

精度为 2 位十进制数字 (A. Povolotsky, 私人通信, 3月 6, 2008)。

一个显然有趣的近恒等式由下式给出

sin(1/(555555) degrees) approx pi×10^(-8),
(10)

当注意到 555555 是一个 重覆数字 时，这就不那么令人惊讶了，因此上面只是近恒等式的一个特例

sin((pi/(180))/(d(10^n-1)/9)) approx sin((pi/(180))/(d(10^n)/9))
(11)
approx pi/(2d)10^(-(n+1))
(12)

其中 d=5 和 n=6。

一个涉及 黄金比例 phi 的近似值来自具有单位 中间半径 的 正则 四方偏方面体 的 体积，即

pi approx 8/3phi(2-sqrt(phi))
(13)
=8/3(1+sqrt(5)-sqrt(2+sqrt(5)))
(14)
=3.14105...
(15)

(参见 Pegg 2018)，精度为 3 位数字。另一个涉及 phi 的近似值为

pi approx 6/5phi^2
(16)
=6/5((sqrt(5)+1)/2)^2
(17)
=3/5(3+sqrt(5))
(18)
=3.14164...,
(19)

精度为 4 位数字。S. Mircea-Mugurel (私人通信, 10月 30, 2002) 给出了一个类似的近似值

pi approx 4phi^(-1/2)=3.1446...,
(20)

然而，精度仅为两位小数。另一个涉及 黄金比例 phi 的近似值由下式给出

pi approx ((802phi-801)/(602phi-601))^4,
(21)

精度为 7 位数字 (K. Rashid, 私人通信)。

拉马努金给出的一些近似值包括

pi approx (19sqrt(7))/(16)
(22)
approx 7/3(1+1/5sqrt(3))
(23)
approx 9/5+sqrt(9/5)
(24)
approx ((2143)/(22))^(1/4)=(9^2+(19^2)/(22))^(1/4)=(102-(2222)/(22^2))^(1/4)=(97+1/2-1/(11))^(1/4)=(97+9/(22))^(1/4)
(25)
approx (63)/(25)((17+15sqrt(5))/(7+15sqrt(5)))
(26)
approx (355)/(113)(1-(0.0003)/(3533))
(27)
approx (12)/(sqrt(130))ln[((3+sqrt(13))(sqrt(8)+sqrt(10)))/2]
(28)
approx (24)/(sqrt(142))ln[(sqrt(10+11sqrt(2))+sqrt(10+7sqrt(2)))/2]
(29)
approx (12)/(sqrt(190))ln[(3+sqrt(10))(sqrt(8)+sqrt(10))]
(30)
approx (12)/(sqrt(310))ln[1/4(3+sqrt(5))(2+sqrt(2))(5+2sqrt(10)+sqrt(61+20sqrt(10)))]
(31)
approx 4/(sqrt(522))ln[((5+sqrt(29))/(sqrt(2)))^3(5sqrt(29)+11sqrt(6))(sqrt((9+3sqrt(6))/4)+sqrt((5+3sqrt(6))/4))^6],
(32)

它们的精度分别为 3, 4, 4, 8, 8, 9, 14, 15, 15, 18, 23, 31 位数字 (Ramanujan 1913-1914; Hardy 1952, p. 70; Wells 1986, p. 54; Berndt 1994, pp. 48-49 和 88-89)。方程 (◇) 和类似的

pi approx (66sqrt(2))/(33sqrt(29)-148)
(33)

也由 Borwein 和 Bailey (2003, p. 135) 给出。拉马努金还给出了

pi approx (99^2)/(2206sqrt(2))
(34)

(Wells 1986, p. 54)。

使用两个 全数字数字 (A. Povolotsky, 私人通信, 8月 29, 2022) 找到 pi 的有理近似值并不难。最好的这种近似值是

pi approx (8405139762)/(2675439081)=3.141592653591...
(35)

它将 pi 近似到 10 位十进制数字 (E. Weisstein, 9月 7, 2022)。S. Irvine (私人通信) 指出 (◇) 给出的 pi 的近似值精度为 8 位数字，可以写成 全数字 形式

pi approx 0+sqrt(sqrt(3^4+(19^2)/(78-56)))
(36)
=(9^2+(19^2)/(22))^(1/4)
(37)
=((2143)/(22))^(1/4)
(38)

(S. Plouffe, 私人通信; 参见 Wells 1986, p. 54)。E. Pegg (私人通信) 发现了 全数字 近似值

0+3+(1-(9-8^(-5))^(-6))/(7+2^(-4))=(233546921420225777694970883318153571)/(74340293968115785654927455866388593)
(39)

它将 pi 近似到 9 位数字。另一个 全数字 公式由下式给出

pi approx 3+4/(28)-1/(790+5/6)=3.14159265392...
(40)

(B. Astle, 私人通信, 1月 9, 2004)，它将 pi 近似到 9 位数字。超越这两者的是 全数字 近似值

2^(5^(.4))-.6-((.3^9)/7)^(.8^(.1)).
(41)

它给出 10 位正确数字 (B. Ziv, 私人通信, 7月 7, 2004)。另一个全数字近似值由下式给出

(ln{[2×5!+(8-1)!]^(sqrt(9))+4!+(3!)!})/(sqrt(67)),
(42)

精度为 17 位数字 (G. W. Barbosa, 私人通信)。

M. Schneider (私人通信, 5月 6, 2008) 发现了近似值

pi approx sqrt(7+sqrt(6+sqrt(5))),
(43)

精度为 3 位十进制数字。P. Lindborg (私人通信) 指出收敛项 104348/33125 可以写成略微奇特的形式

(314+142)/(2·3·5·7)(1373)/(13·73),
(44)

精度为 9 位数字。

E. Pegg 给出的其他近似值包括

pi approx 4-((105)/(166))^(1/3),
(45)

精度为 6 位数字 (私人通信, 3月 2, 2002) 和

pi approx (22)/(17)+(37)/(47)+(88)/(83),
(46)

精度为 9 位数字 (私人通信, 12月 30, 2002)。

一个涉及 立方根 的简单近似值是

pi approx 31^(1/3),
(47)

精度为 3 位数字 (M. Joseph, 私人通信, 5月 3, 2006)。一个更奇特的近似值由下式给出

pi approx (ln6)^((ln5)^((ln4)^((ln3)^(ln2)))),
(48)

精度为 4 位数字 (M. Joseph, 私人通信, 5月 3, 2006)。

Castellanos (1988ab) 给出了大量有趣的公式

pi approx (2e^3+e^8)^(1/7)
(49)
approx ((553)/(311+1))^2
(50)
approx (3/(14))^4((193)/5)^2
(51)
approx ((296)/(167))^2
(52)
approx ((66^3+86^2)/(55^3))^2
(53)
approx 1.09999901·1.19999911·1.39999931·1.69999961
(54)
approx (47^3+20^3)/(30^3)-1
(55)
approx 2+sqrt(1+((413)/(750))^2)
(56)
approx ((77729)/(254))^(1/5)
(57)
approx (31+(62^2+14)/(28^4))^(1/3)
(58)
approx (1700^3+82^3-10^3-9^3-6^3-3^3)/(69^5)
(59)
approx (95+(93^4+34^4+17^4+88)/(75^4))^(1/4)
(60)
approx (100-(2125^3+214^3+30^3+37^2)/(82^5))^(1/4),
(61)

它们的精度分别为 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12 和 13 位数字。Shanks (1982) 给出的一个极其精确的近似值是

pi approx 6/(sqrt(3502))ln(2u)+7.37×10^(-82),
(62)

其中 u 是四个简单四次单位的乘积。

David W. Hoffman (私人通信) 给出了

pi approx ((10^(100))/(11222.11122))^(1/193),
(63)

其中分子是一个 googol，精度为 9 位数字。近似值

pi approx e^(e^(e^(-2)))
(64)
approx 2+e^(e^(-2))
(65)

给出 2 位数字 (G. von Hippel, 私人通信)。

Plouffe 和 Borwein 以及 Bailey (2003, pp. 115 和 134-135) 给出的一系列近似值包括

pi approx 43^(7/23)
(66)
approx (ln2198)/(sqrt(6))
(67)
approx ((13)/4)^(1181/1216)
(68)
approx (689)/(396ln((689)/(396)))
(69)
approx ln5280sqrt(9/(67))
(70)
approx ((63023)/(30510))^(1/3)+1/4+1/2(sqrt(5)+1)
(71)
approx (48)/(23)ln((60318)/(13387))
(72)
approx (228+(16)/(1329))^(1/41)+2
(73)
approx (125)/(123)ln((28102)/(1277))
(74)
approx 3/(sqrt(163))ln(640320)
(75)
approx ((276694819753963)/(226588))^(1/158)+2
(76)
approx (ln(640320^3+744))/(sqrt(163)),
(77)

它们的精度分别为 4, 5, 7, 7, 9, 10, 11, 11, 11, 15, 23 和 30 位数字。

最后一个表达式，来自 j-函数 的级数展开。再进一步得到

-e^(pisqrt(163))+744-196886e^(-pisqrt(163))+...=-640320^3
(78)
e^(pisqrt(163))(1+196884e^(-2pisqrt(163))) approx 640320^3+744
(79)
e^(2pisqrt(163))(1+196884e^(-2pisqrt(163)))^2 approx (640320^3+744)^2
(80)
e^(2pisqrt(163))+2·196884 approx (640320^3+744)^2
(81)

得到

pi approx (ln[(640320^3+744)^2-2·196884])/(2sqrt(163)),
(82)

精度为 46 位十进制数字 (Warda, 私人通信, 11月 15, 2004)。

PiApproximationsSqrt

有趣的是，对于越来越大的 n，ln(nint(exp(pisqrt(163n))))/sqrt(163n) 给出越来越好的 pi 近似值 (Warda, 私人通信, 11月 22, 2004)。特别是，对于 n=1, 2, ...，正确数字的位数由 30, 28, 31, 46, 40, 44, 48, 51, 61, 57, 59, 62, 65 (OEIS A100935) 给出。

Stoschek 使用二的幂和特殊数字 163 (最大的 海格纳数) 给出的近似值为

pi approx (2^9)/(163)=(512)/(163) approx 3.1411043,
(83)

精度为 3 位数字。一个分子和分母都很小的分数，可以很好地近似 pi 是

(311)/(99)=3.14141414....
(84)

一些涉及有理数九次方根的近似值包括

pi approx ((4297607660)/(144171))^(1/9)
(85)
approx ((34041350274878)/(1141978491))^(1/9),
(86)

它们的精度分别为 12 位和 15 位数字 (P. Galliani, 私人通信)。

de Jerphanion (私人通信) 发现

pi approx ln(23+1/(22)+2/(21))=ln(23+1/6-2/(77))=ln((10691)/(462)),
(87)

精度为 9 位数字，J. Iuliano 发现

pi approx ((19)/(60)+1/(sqrt(3·123449)))^(-1),
(88)

精度为 11 位数字。

Backhouse (1995) 和 Lucas (2005) 考虑了给出 pi 近似值的定积分。

F. Voormanns (私人通信, 12月 12, 2003) 发现了有趣的 астрономический 近似值

pi approx 1/( week)((13 years-6 weeks)/(13 years)+3 weeks),
(89)

如果将一年视为精确的 365 天，则精度为 8 位数字；如果使用平均公历年 (365.2425 天) 或回归年 (365.242190 天)，则精度为 6 位数字。

Rivera 给出了其他近似公式。

另请参阅

几乎是整数, Pi, Pi 连分数, Pi 数字, Pi 公式

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参考文献

Backhouse, N. "Note 79.36. Pancake Functions and Approximations to pi." Math. Gaz. 79, 371-374, 1995.Berndt, B. C. 拉马努金笔记本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, 1994.Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的似真推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988a.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part II." Math. Mag. 61, 148-163, 1988b.Contest Center. "Pi Competition." http://www.contestcen.com/pi.htm.Friedman, E. "Problem of the Month (August 2004)." https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0804.html.Hardy, G. H. 纯粹数学教程，第 10 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1952.Lucas, S. K. "Integral Proofs that 355/113>pi." Gaz. Austral. Math. Soc. 32, 263-266, 2005.Pegg, E. Jr. "For Pi Day: Volume = 3.141--The Canonical Tetragonal Antiwedge Hexahedron." 3月 14, 2018. https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/1301599.Plouffe, S. "A Few Approximations of Pi." http://pi.lacim.uqam.ca/eng/approximations_en.html.Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 050-The Best Approximation to Pi with Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_050.htm.Shanks, D. "Dihedral Quartic Approximations and Series for pi." J. Number. Th. 14, 397-423, 1982.Sloane, N. J. A. Sequences A002485/M3097, A002486/M4456, A100935, 和 A114526 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wells, D. 好奇和有趣的数字企鹅词典。 Middlesex, England: Penguin Books, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中引用

Pi 近似值

引用为

Weisstein, Eric W. "Pi 近似值。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PiApproximations.html

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