主题
Search

欧拉-马歇罗尼常数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本

欧拉-马歇罗尼常数 gamma，有时也称为“欧拉常数”或“欧拉常数”（但不要与常数 e=2.718281... 混淆），定义为序列的极限

gamma=lim_(n->infty)(sum_(k=1)^(n)1/k-lnn)
(1)
=lim_(n->infty)(H_n-lnn),
(2)

其中 H_n 是 调和数 (Graham et al. 1994, p. 278)。它最初由欧拉 (1735) 定义，他使用了字母 C 并表示它“值得认真考虑”（Havil 2003, pp. xx 和 51）。符号 gamma 最早由马歇罗尼 (1790) 使用。

gamma 的数值为

gamma=0.577215664901532860606512090082402431042...
(3)

(OEIS A001620)，并在 Wolfram 语言 中实现为EulerGamma.

目前尚不清楚这个常数是否是 无理数，更不用说 超越数 了 (Wells 1986, p. 28)。著名的英国数学家 G. H. Hardy 据说曾表示，如果有人能证明 gamma 是无理数，他就放弃在牛津的 Savilian 讲席（Havil 2003, p. 52），尽管似乎没有已知的书面参考文献支持这一说法。希尔伯特提到 gamma 的无理性是一个“难以接近”的未解决问题，数学家对此束手无策（Havil 2003, p. 97）。Conway 和 Guy (1996) “准备打赌它是超越数”，尽管他们不期望在他们的有生之年能得到证明。如果 gamma 是一个简单的分数 a/b，那么已知 b>10^(10000) (Brent 1977; Wells 1986, p. 28)，后来 T. Papanikolaou 将其改进为 b>10^(242080) (Havil 2003, p. 97)。

欧拉-马歇罗尼常数连分数 由 [0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] 给出 (OEIS A002852)。

gamma 的 Engel 展开 由 2, 7, 13, 19, 85, 2601, 9602, 46268, 4812284, ... 给出 (OEIS A053977)。

欧拉-马歇罗尼常数出现在许多积分中

gamma=-int_0^inftye^(-x)lnxdx
(4)
=-int_0^1lnln(1/x)dx
(5)
=int_0^infty(1/(1-e^(-x))-1/x)e^(-x)dx
(6)
=int_0^infty1/x(1/(1+x)-e^(-x))dx
(7)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 246)。给出 gamma 与其他简单常数组合的积分包括

int_0^inftye^(-x^2)lnxdx=-1/4sqrt(pi)(gamma+2ln2)
(8)
int_0^inftye^(-x)(lnx)^2dx=gamma^2+1/6pi^2.
(9)

二重积分 包括

gamma=int_0^1int_0^1(x-1)/((1-xy)ln(xy))dxdy
(10)

(Sondow 2003, 2005; Borwein et al. 2004, p. 49)。方程 (10) 的一个有趣的类似物由下式给出

ln(4/pi)=sum_(n=1)^(infty)(-1)^(n-1)[1/n-ln((n+1)/n)]
(11)
=int_0^1int_0^1(x-1)/((1+xy)ln(xy))dxdy
(12)
=0.241564...
(13)

(OEIS A094640; Sondow 2005)。

gamma 也由 梅尔滕斯定理 给出

e^gamma=lim_(n->infty)1/(lnp_n)product_(i=1)^n1/(1-1/(p_i)),
(14)

其中乘积是对 素数 p 进行的。通过对两边取对数，可以得到 gamma 的显式公式，

gamma=lim_(x->infty)[sum_(p<=x)ln(1/(1-1/p))-lnlnx].
(15)

它也由级数给出

gamma=sum_(k=1)^infty[1/k-ln(1+1/k)]
(16)

由欧拉给出，这从方程 (1) 通过首先将 lnn 替换为 ln(n+1) 而得到，这是可行的，因为

lim_(n->infty)[ln(n+1)-lnn]=lim_(n->infty)ln(1+1/n)=0,
(17)

然后代入 伸缩和

sum_(k=1)^nln(1+1/k)
(18)

对于 ln(n+1)，这是它的和，因为再次

ln(1+1/k)=ln(k+1)-lnk,
(19)

得到

gamma=lim_(n->infty)[sum_(k=1)^(n)1/k-sum_(k=1)^(n)ln(1+1/k)]
(20)
=lim_(n->infty)sum_(k=1)^(n)[1/k-ln(1+1/k)]
(21)

这等于方程 (◇)。

其他级数包括

gamma=sum_(n=2)^(infty)(-1)^n(zeta(n))/n
(22)
=ln(4/pi)+sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)zeta(n+1))/(2^n(n+1))
(23)

(Gourdon 和 Sebah 2003, p. 3)，其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数，以及

gamma=sum_(n=1)^infty(-1)^n(|_lgn_|)/n
(24)

(Vacca 1910, Gerst 1969)，其中 lg 是以 2 为底的 对数，|_x_| 是 向下取整函数。Nielsen (1897) 早期给出了一个等价于 (24) 的级数，

gamma=1-sum_(n=1)^inftysum_(k=2^(n-1))^(2^n-1)n/((2k+1)(2k+2)).
(25)

要看到 (25) 与 (24) 的等价性，展开

1/((2k+1)(2k+2))=1/(2k+1)-1/(2k+2)
(26)

并加上

0=-1/2+1/4+1/8+1/(16)+...
(27)

到 Nielsen 的方程以得到 Vacca 的公式。

和

gamma=sum_(n=1)^(infty)sum_(k=2^n)^(infty)((-1)^k)/k
(28)
=sum_(k=1)^(infty)1/(2^(k+1))sum_(j=0)^(k-1)(2^(k-j)+j; j)^(-1)
(29)

(Gosper 1972，其中 k-j 替换了未定义的 i；Bailey 和 Crandall 2001) 可以从方程 (24) 获得，方法是将其重写为 二重级数，然后对每个级数应用 欧拉级数变换，然后相加得到方程 (29)。这里，(n; k) 是 二项式系数，并且允许重新排列条件收敛级数，因为正项和负项可以首先成对分组，重新排列得到的正数级数，然后将级数取消分组回到正项和负项。

二重级数 (28) 等价于 Catalan 积分

gamma=int_0^11/(1+x)sum_(n=1)^inftyx^(2^n-1)dx.
(30)

要看到等价性，将 1/(1+x) 展开为 几何级数，乘以 x^(2^n-1)，并逐项积分 (Sondow 和 Zudilin 2003)。

其他 gamma 的级数包括

gamma=3/2-ln2-sum_(m=2)^infty(-1)^m(m-1)/m[zeta(m)-1]
(31)

(Flajolet 和 Vardi 1996)，以及

gamma=(2^n)/(e^(2^n))sum_(m=0)^infty(2^(mn))/((m+1)!)sum_(t=0)^m1/(t+1)-nln2+O(1/(2^ne^(2^n))),
(32)

(Bailey 1988)，这是对 Sweeney (1963) 的改进。

一个快速收敛到 gamma 的极限由下式给出

gamma=lim_(n->infty)[(2n-1)/(2n)-lnn+sum_(k=2)^(n)(1/k-(zeta(1-k))/(n^k))]
(33)
=lim_(n->infty)[(2n-1)/(2n)-lnn+sum_(k=2)^(n)1/k(1+(B_k)/(n^k))],
(34)

其中 B_k 是 伯努利数 (C. Stingley, 私人通讯，2003 年 7 月 11 日)。

另一个极限公式由下式给出

gamma=-lim_(n->infty)[(Gamma(1/n)Gamma(n+1)n^(1+1/n))/(Gamma(2+n+1/n))-(n^2)/(n+1)]
(35)

(P. Walker, 私人通讯，2004 年 3 月 17 日)。一个更令人惊奇的极限由下式给出

gamma=lim_(x->infty)zeta(zeta(z))-2^x+(4/3)^x+1
(36)

(B. Cloitre, 私人通讯，2005 年 10 月 4 日)，其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数。

Dirichlet 在 1838 年证明，素数 的另一个关联是，从 1 到 n 的所有数字的 除数 d(n)=sigma_0(n) 的平均数渐近于

(sum_(k=1)^(n)d(k))/n∼lnn+2gamma-1
(37)

(Conway 和 Guy 1996)。de la Vallée Poussin (1898) 证明，如果一个大数 n 被所有 素数 <=n 除，那么 商 小于下一个整数的平均量是 gamma。

一个关于 gamma 的优雅恒等式由下式给出

gamma=(S_0(z)-K_0(z))/(I_0(z))-ln(1/2z),
(38)

其中 I_0(z) 是 第一类修正贝塞尔函数，K_0(z) 是 第二类修正贝塞尔函数，并且

S_0(z)=sum_(k=0)^infty((1/2z)^(2k)H_k)/((k!)^2),
(39)

其中 H_n 是 调和数 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 336; Borwein 和 Bailey 2003, p. 138)。这给出了一个计算 gamma 的有效迭代算法，通过计算

B_k=(B_(k-1)n^2)/(k^2)
(40)
A_k=1/k((A_(k-1)n^2)/k+B_k)
(41)
U_k=U_(k-1)+A_k
(42)
V_k=V_(k-1)+B_k
(43)

其中 A_0=-lnn，B_0=1，U_0=A_0，以及 V_0=1 (Borwein 和 Bailey 2003, pp. 138-139)。

重新表述这个恒等式，得到极限

lim_(n->infty)[sum_(k=0)^infty(((n^k)/(k!))^2H_k)/(sum_(k=0)^(infty)((n^k)/(k!))^2)-lnn]=gamma
(44)

(Brent 和 McMillan 1980; Trott 2004, p. 21)。

涉及 gamma 的 无穷乘积 也来自具有 正整数 n 的 Barnes G-函数。情况 G(2) 和 G(3) 给出

product_(n=1)^(infty)e^(-1+1/(2n))(1+1/n)^n=(e^(1+gamma/2))/(sqrt(2pi))
(45)
product_(n=1)^(infty)e^(-2+2/n)(1+2/n)^n=(e^(3+2gamma))/(2pi).
(46)

欧拉-马歇罗尼常数也由表达式给出

gamma=-Gamma^'(1)
(47)
=-psi_0(1),
(48)

其中 psi_0(x) 是 双伽玛函数 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 236)，

gamma=lim_(s->1)[zeta(s)-1/(s-1)]
(49)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 271)，反对称极限形式

gamma=lim_(s->1^+)sum_(n=1)^infty(1/(n^s)-1/(s^n))
(50)

(Sondow 1998)，以及

gamma=lim_(x->infty)[x-Gamma(1/x)]
(51)

(Le Lionnais 1983)。

方程 (◇) 中第 n 个收敛项与 gamma 之间的差值由下式给出

sum_(k=1)^n1/k-lnn-gamma=int_n^infty(x-|_x_|)/(x^2)dx,
(52)

其中 |_x_| 是 向下取整函数，并满足 不等式

1/(2(n+1))<sum_(k=1)^n1/k-lnn-gamma<1/(2n)
(53)

(Young 1991)。

符号 gamma 有时也用于

gamma^'=e^gamma approx 1.781072
(54)

(OEIS A073004; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxvii)。

存在一个奇特的根式表示

e^gamma=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/3)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/4)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/5)...,
(55)

这与 二重级数 相关

gamma=sum_(n=1)^infty1/nsum_(k=0)^(n-1)(-1)^(k+1)(n-1; k)ln(k+1)
(56)

并且 (n; k) 是 二项式系数 (Ser 1926, Sondow 2003b, Guillera 和 Sondow 2005)。乘积 (55) 的另一个证明以及对此乘积与类似 Wallis 公式 的“更快 π 乘积”之间相似性的解释

pi/2=(2/1)^(1/2)((2^2)/(1·3))^(1/4)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/8)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/16)...
(57)

(Guillera 和 Sondow 2005, Sondow 2005)，在 Sondow (2004) 中给出。（通过在 (57) 中更改 n->n+1，这种相似性变得更加清晰。）这两个公式也类似于 e 的乘积，由下式给出

e=(2/1)^(1/1)((2^2)/(1·3))^(1/2)((2^3·4)/(1·3^3))^(1/3)((2^4·4^4)/(1·3^6·5))^(1/4)...
(58)

由 Guillera (Sondow 2005) 给出。

EulerMascheroniSondow

包含 e^gamma 的乘积的前 n 项后获得的 r(n) 值在上面绘制。

一个收敛到 gamma 的奇特求和极限由下式给出

lim_(n->infty)1/nsum_(k=1)^(n-1)([n/k]-n/k)=gamma
(59)

(Havil 2003, p. 113)，其中 [x] 是 向上取整函数。

另请参阅

欧拉-马歇罗尼常数近似值，欧拉-马歇罗尼常数连分数，欧拉-马歇罗尼常数数字，欧拉乘积，Hadjicostas 公式，吉普车问题，梅尔滕斯定理，Stieltjes 常数 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/Constants/EulerGamma/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Anastassow, T. Die Mascheroni'sche Konstante: Eine historisch-analytisch zusammenfassende Studie. Thesis. Bonn, Germany: Universität Bonn. Wetzikon: J. Wirz, 1914.Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving pi, e, and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281, 1988.Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Brent, R. P. "Computation of the Regular Continued Fraction for Euler's Constant." Math. Comput. 31, 771-777, 1977.Brent, R. P. and McMillan, E. M. "Some New Algorithms for High-Precision Computation of Euler's Constant." Math. Comput. 34, 305-312, 1980.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Conway, J. H. and Guy, R. K. "The Euler-Mascheroni Number." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 260-261, 1996.de la Vallée Poussin, C.-J. Untitled communication. Annales de la Soc. Sci. Bruxelles 22, 84-90, 1898.DeTemple, D. W. "A Quicker Convergence to Euler's Constant." Amer. Math. Monthly 100, 468-470, 1993.Dirichlet, G. L. "Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres." J. reine angew. Math. 18, 259-274, 1838.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, p. 1, 1981.Euler, L. "De Progressionibus harmonicus observationes." Commentarii Academiæ Scientarum Imperialis Petropolitanæ 7-1734, 150-161, 1735.Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.Flajolet, P. and Vardi, I. "Zeta Function Expansions of Classical Constants." Unpublished manuscript, 1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Gerst, I. "Some Series for Euler's Constant." Amer. Math. Monthly 76, 273-275, 1969.Glaisher, J. W. L. "On the History of Euler's Constant." Messenger Math. 1, 25-30, 1872.Gosper, R. W. Item 120 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 55, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item120.Gourdon, X. and Sebah, P. "The Euler Constant: gamma." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html.Gourdon, X. and Sebah, P. "A Collection of Formulae for the Euler Constant." Feb. 12, 2003. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.pdf.Gourdon, X. and Sebah, P. "Constants and Records of Computation." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005. http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Kondo, S. "Value of Euler Constant." http://ja0hxv.calico.jp/pai/egamma.html.Knuth, D. E. "Euler's Constant to 1271 Places." Math. Comput. 16, 275-281, 1962.Krantz, S. G. "The Euler-Mascheroni Constant." §13.1.7 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 156-157, 1999.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 28, 1983.Mascheroni, L. Adnotationes ad calculum integralem Euleri, Vol. 1 and 2. Ticino, Italy, 1790 and 1792. Reprinted in Euler, L. Leonhardi Euleri Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 12. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 415-542, 1915.Nielsen, N. "Een Raekke for Euler's Konstant." Nyt. Tidss. for Math. 8B, 10-12, 1897.Plouffe, S. "Table of Current Records for the Computation of Constants." http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.Ser, J. "Sur une expression de la fonction zeta(s) de Riemann." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 182, 1075-1077, 1926.Sloane, N. J. A. Sequences A001620/M3755, A033149, A053977, A073004, and A094640 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sondow, J. "An Antisymmetric Formula for Euler's Constant." Math. Mag. 71, 219-220, 1998.Sondow, J. "Criteria for Irrationality of Euler's Constant." Proc. Amer. Math. Soc. 131, 3335-3344, 2003a.Sondow, J. "An Infinite Product for e^gamma via Hypergeometric Formulas for Euler's Constant, gamma." 31 May 2003b. http://arxiv.org/abs/math.CA/0306008.Sondow, J. "Double Integrals for Euler's Constant and ln(4/pi) and an Analog of Hadjicostas's Formula." Amer. Math. Monthly 112, 61-65, 2005a.Sondow, J. "A Faster Product for pi and a New Integral for ln(pi/2)." Amer. Math. Monthly 112, 729-734, 2005b.Sondow, J. and Zudilin, W. "Euler's Constant, q-Logarithms, and Formulas of Ramanujan and Gosper." Ramanujan J. 12, 225-244, 2006.Sweeney, D. W. "On the Computation of Euler's Constant." Math. Comput. 17, 170-178, 1963.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Vacca, G. "A New Series for the Eulerian Constant." Quart. J. Pure Appl. Math. 41, 363-368, 1910.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 28, 1986.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 235-236, 246, and 271, 1990.Young, R. M. "Euler's Constant." Math. Gaz. 75, 187-190, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上引用

欧拉-马歇罗尼常数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. “欧拉-马歇罗尼常数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Euler-MascheroniConstant.html

主题分类