皮索数

皮索数是一个大于 1 的正代数整数，其所有共轭元素的绝对值都小于 1。如果一个大于 1 且次数为 2 或 3 的实二次代数整数的范数等于，则它是一个皮索数。黄金比例（当被视为皮索数时，记为）是皮索数的一个例子，因为它具有次数为 2，范数为。

最小的皮索数由正根 (OEIS A060006) 给出，即

(1)

被称为塑性常数。Salem (1944) 确定这个数是已知的最小数，Siegel (1944) 证明它是可能的最小数。

皮索常数产生几乎是整数的数。例如，的幂次越大，就越接近 0 或 1 (Trott 2004)，其中是向下取整函数。例如，惊人的例子与整数的距离在之内 (Trott 2004, pp. 8-9)。

对于的哪些幂，该量更接近于 0 的是 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 17, ... (OEIS A051016)，而更接近于 1 的是 2, 9, 10, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, ... (OEIS A051017)。

Siegel 还将第二小的皮索数确定为 (OEIS A086106) 的正根，即

(2)

表明和是孤立的，并表明每个多项式的正根

(3)

对于 , 2, 3, ...,

(4)

对于 , 5, 7, ..., 以及

(5)

对于 , 5, 7, ... 都是皮索数。

所有小于的皮索数都是已知的 (Dufresnoy 和 Pisot 1955)。下表给出了一些小的皮索数及其多项式。后两个条目来自 Boyd (1977)。

数值	OEIS	阶数	多项式系数
1.3247179572	A060006	3	1 0
1.3802775691	A086106	4	1 0 0
1.6216584885		16	1 2 2 1 0 0 1 2 2 1
1.8374664495		20	1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

皮索数最初出现在对以下公式的考虑中

$frac(x)=x-|_x_|$

(6)

其中 $frac(x)$ 表示的小数部分，是向下取整函数。令为一个大于 1 的数，为一个正数，对于给定的，当不属于零测度的相关例外集时，序列 $frac(lambdatheta^n)$ (对于 , 2, ...) 是区间 (0, 1) 中的一个等分布序列 (Koksma 1935)。Pisot (1938) 和 Vijayaraghavan (1941) 独立研究了的例外值，Salem (1943) 提议将这些值称为 Pisot-Vijayaraghavan 数。

Pisot (1938) 随后证明了这样一个事实：如果选择使得存在一个，对于该，级数

(7)

收敛，那么是一个代数整数，其所有共轭（除了自身）的模都，并且是域的一个代数整数。Vijayaraghavan (1940) 证明了皮索数集有无限多个极限点。Salem (1944) 证明了皮索数集是闭集。这个定理的证明基于这样一个引理：对于一个皮索数，总是存在一个数使得并且满足以下不等式

(8)

另请参阅

几乎是整数, 等分布序列, Lehmer's Mahler 测度问题, 塑性常数, Salem 常数, Weyl 判据

此条目的部分内容由 David Terr 贡献

使用 Wolfram|Alpha 探索

更多尝试

参考文献

Bell, J. P. 和 Hare, K. G. "皮索数的

for

属性。" http://www.math.uwaterloo.ca/~kghare/Preprints/PDF/P17_Zq.pdf.Bertin, M. J. 和 Pathiaux-Delefosse, A. Lehmer 猜想和小 Salem 数。 Kingston: Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, 1989.Bertin, M. J.; Decomps-Guilloux, A.; Grandet-Hugot, M.; Pathiaux-Delefosse, M.; 和 Schreiber, J. P. 皮索数和 Salem 数。 Basel: Birkhäuser, 1992.Borwein, P. 和 Hare, K. G. "关于皮索数和 Salem 数的一些计算。" CECM-00:148, 5 月 18 日. http://www.cecm.sfu.ca/preprints/2000pp.html#00:148.Boyd, D. W. "小 Salem 数。" Duke Math. J. 44, 315-328, 1977.Boyd, D. W. "实线区间中的皮索数和 Salem 数。" Math. Comput. 32, 1244-1260, 1978.Boyd, D. W. "极限点附近的皮索数。II" Math. Comput. 43, 593-602, 1984.Boyd, D. W. "极限点附近的皮索数。I" J. Number Theory 21, 17-43, 1985.Dubickas, A. "关于皮索数幂的注释。" Publ. Math. Debrecen 56, 141-144, 2000.Dufresnoy, J. 和 Pisot, C. "单位圆上某些有界亚纯函数的研究，应用于代数整数的闭集。" Ann. Sci. École Norm. Sup. 72, 69-92, 1955.Erdős, P.; Joó, M.; 和 Schnitzer, F. J. "关于皮索数。" Ann. Univ. Sci. Budapest, Eőtvős Sect. Math. 39, 95-99, 1997.Katai, I. 和 Kovacs, B. "具有近似整数值的乘法函数。" Acta Sci. Math. 48, 221-225, 1985.Koksma, J. F. "关于模一均匀分布的集合论定理。" Comp. Math. 2, 250-258, 1935.Le Lionnais, F. 杰出的数字。 Paris: Hermann, pp. 38 和 148, 1983.Luca, F. "关于 G. Kuba 的一个问题。" Arch. Math. (Basel) 74, 269-275, 2000.Pisot, C. "模 1 分布和代数数。" Annali di Pisa 7, 205-248, 1938.Salem, R. "唯一性集和多重性集。" Trans. Amer. Math. Soc. 54, 218-228, 1943.Salem, R. "一类杰出的代数数。Vijayaraghavan 猜想的证明。" Duke Math. J. 11, 103-108, 1944.Salem, R. "具有整数系数的幂级数。" Duke Math. J. 12, 153-172, 1945.Siegel, C. L. "共轭位于单位圆内的代数数。" Duke Math. J. 11, 597-602, 1944.Sloane, N. J. A. 序列 A051016, A051017, A060006, 和 A086106 在 "整数序列在线百科全书" 中。Trott, M. Mathematica 编程指南。 New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Vijayaraghavan, T. "关于数的幂的小数部分，II。" Proc. Cambridge Phil. Soc. 37, 349-357, 1941.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

皮索数

请这样引用

Terr, David 和 Weisstein, Eric W. "皮索数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PisotNumber.html