主题
Search

双伽玛函数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本
Digamma
DigammaReImAbs
最小值 最大值
实部
虚部 Powered by webMathematica

双伽玛函数是一个特殊函数，它由伽玛函数的对数导数（或，取决于定义，阶乘的对数导数）给出。

由于这种歧义，有时（但并非总是）使用两种不同的符号，其中

Psi(z)=d/(dz)lnGamma(z)=(Gamma^'(z))/(Gamma(z))
(1)

定义为伽玛函数 Gamma(z) 的对数导数，并且

F(z)=d/(dz)lnz!
(2)

定义为阶乘函数的对数导数。两者通过以下关系连接：

F(z)=Psi(z+1).
(3)

n阶导数 Psi(z) 被称为多伽玛函数，表示为 psi_n(z)。因此，符号

psi_0(z)=Psi(z)
(4)

经常用于双伽玛函数本身，Erdélyi et al. (1981) 使用符号 psi(z) 表示 Psi(z)。双伽玛函数 psi_0(z) 由函数返回PolyGamma[z] 或PolyGamma[0, z] 在 Wolfram 语言中，并使用符号 psi^((0))(z) 排版。

双伽玛函数出现在简单的求和中，例如

sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(zk+1)=(Phi(-1,1,z^(-1)))/z
(5)
=1/(2z)[psi_0((z+1)/(2z))-psi_0(1/(2z))],
(6)

其中 Phi(z,s,a) 是一个 Lerch 超越函数。

特殊情况如下：

sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k+1)=ln2
(7)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(2k+1)=1/4pi
(8)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(3k+1)=1/9(sqrt(3)pi+3ln2)
(9)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(4k+1)=(pi+2coth^(-1)(sqrt(2)))/(4sqrt(2)).
(10)

高斯双伽玛定理指出

(Gamma^'(p/q))/(Gamma(p/q))=-gamma-ln(2q)-1/2picot((pip)/q)+2sum_(0<n<q/2)cos((2pipn)/q)ln[sin((pin)/q)]
(11)

（Allouche 1992，Knuth 1997，第 94 页）。

双伽玛函数的渐近级数由下式给出

psi_0(z+1)∼d/(dz)lim_(n->infty)[lnn!+zlnn-ln(z+1)-ln(z+2)-...-ln(z+n)]
(12)
=lim_(n->infty)(lnn-1/(z+1)-1/(z+2)-...-1/(z+n))
(13)
=-gamma-sum_(n=1)^(infty)(1/(z+n)-1/n)
(14)
=-gamma+sum_(n=1)^(infty)z/(n(n+z))
(15)
=lnz+1/(2z)-sum_(n=1)^(infty)(B_(2n))/(2nz^(2n)),
(16)

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，B_(2n) 是伯努利数。

双伽玛函数满足

psi_0(z)=int_0^infty((e^(-t))/t-(e^(-zt))/(1-e^(-t)))dt.
(17)

对于整数 z=n,

psi_0(n)=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k=-gamma+H_(n-1),
(18)

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，H_n 是调和数。

其他恒等式包括

(dpsi_0)/(dz)=sum_(n=0)^infty1/((z+n)^2)
(19)
psi_0(1-z)-psi_0(z)=picot(piz)
(20)
psi_0(z+1)=psi_0(z)+1/z
(21)
psi_0(2z)=1/2psi_0(z)+1/2psi_0(z+1/2)+ln2.
(22)

特殊值是

psi_0(1/2)=-gamma-2ln2
(23)
psi_0(1)=-gamma.
(24)

在整数值处，

psi_0(n)=-gamma+sum_(k=1)^(n-1)1/k
(25)
=-gamma+H_(n-1)
(26)

（Derbyshire 2004，第 58 页），在半整数值处，

psi_0(1/2+n)=-gamma-2ln2+2sum_(k=1)^(n)1/(2k-1)
(27)
=-gamma+H_(n-1/2),
(28)

其中 H_n 是调和数。

它由单位正方形积分给出

psi_0(u)=lnu-int_0^1int_0^1(1-x)/((1-xy)(-lnxy))(xy)^(u-1)dxdy
(29)

对于 u>0 (Guillera 和 Sondow 2005)。代入 u=1 给出了一个涉及欧拉-马歇罗尼常数的特殊情况。

psi_0(z) 的级数由下式给出

psi_0(z)=-1/z+sum_(n=0)^infty(psi_n(1))/(n!)z^n.
(30)

对数级数由下式给出

psi_0(z)=sum_(n=0)^infty1/(n+1)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)ln(z+k)
(31)

（Guillera 和 Sondow 2005）。

从FoxTrot 级数中出现的一个令人惊讶的恒等式由下式给出

-psi_0(1/2(-1)^(1/3))-psi_0(-1/2(-1)^(2/3))+psi_0(1/2(1+(-1)^(1/3)))+psi_0(1/2(1-1(-1)^(2/3)))=2pisech(1/2sqrt(3)pi).
(32)

另请参阅

Barnes G-函数, G-函数, 伽玛函数, 高斯双伽玛定理, 调和数, Hurwitz Zeta 函数, 对数导数, 梅林公式, 多伽玛函数, 拉马努金 phi-函数, 三伽玛函数

Wolfram 相关站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/PolyGamma/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.Boros, G. 和 Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. "The psi Function." §1.7 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 15-20, 1981.Guillera, J. 和 Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "The Digamma (F) and Trigamma (F^') Functions." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988.Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Digamma Function psi(x)." Ch. 44 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 423-434, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

双伽玛函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "双伽玛函数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DigammaFunction.html

主题分类