模函数

一个函数被称为模函数（或“椭圆模函数”），如果它满足

1. 在上半平面内是亚纯的，

2. 对于矩阵在模群 Gamma中，

3. 的洛朗级数具有以下形式

(Apostol 1997, p. 34)。克莱因绝对不变量的每个有理函数都是模函数，并且每个模函数都可以表示为的有理函数 (Apostol 1997, p. 40)。模函数是模形式的特例，但反之不然。

模函数的一个重要性质是，如果是模函数且不恒为 0，则的零点数等于在基本区域的闭包中的极点数 (Apostol 1997, p. 34)。

另请参阅

狄利克雷级数, 椭圆函数, 椭圆 Lambda 函数, 克莱因绝对不变量, 模方程, 模形式, 模群 Gamma, 模群 Gamma0, 模群 Lambda

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参考文献

Apostol, T. M. 数论中的模函数和狄利克雷级数，第二版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Askey, R. "拉马努金与超几何和基本超几何级数。" In 拉马努金分析国际研讨会：1987 年 12 月 26-28 日在浦那举行的拉马努金诞辰百年国际研讨会论文集 (Ed. N. K. Thakare, K. C. Sharma and T. T. Raghunathan). New Delhi: Macmillan of India, pp. 1-83, 1989.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. "椭圆模函数。" §4.3 in Pi & the AGM: 解析数论和计算复杂性研究。 New York: Wiley, pp. 112-116, 1987.Rademacher, H. "关于模函数理论。" J. reine angew. Math. 167, 312-336, 1932.Rankin, R. A. 模形式与函数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1977.Schoeneberg, B. 椭圆模函数：导论。 Berlin: New York: Springer-Verlag, 1974.Weisstein, E. W. "关于模函数的书籍。" http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/ModularFunctions.html.

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模函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "模函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ModularFunction.html