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j-函数

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j-函数 j 是由以下定义的模函数

j(tau)=1728J(tau),
(1)

其中 tau 是半周期比，I[tau]>0,

J(tau)=4/(27)([1-lambda(tau)+lambda^2(tau)]^3)/(lambda^2(tau)[1-lambda(tau)]^2)
(2)

是 Klein 的绝对不变量，lambda(tau) 是椭圆 lambda 函数

lambda(tau)=(theta_2^4(e^(ipitau)))/(theta_3^4(e^(ipitau))),
(3)

theta_i(0,q) 是 Jacobi theta 函数，

q=e^(ipitau)
(4)

是 诺姆，且 1728=12^3。

高斯显然在 1800 年之前就意识到了 j-函数 j。埃尔米特在 1858 年左右用它来解五次方程。戴德金在 1877 年左右给出了一个很好的定义，克莱因从 1879 年或 1880 年开始研究这个函数。j-函数 j 与怪物群的群阶因子和超奇异素数有关 (Ogg 1980)。

这个函数也可以用 Weber 函数 f、f_1、f_2、gamma_2 和 gamma_3 表示为

j(tau)=([f^(24)(tau)-16]^3)/(f^(24)(tau))
(5)
=([f_1^(24)(tau)+16]^3)/(f_1^(24)(tau))
(6)
=([f_2^(24)(tau)+16]^3)/(f_2^(24)(tau))
(7)
=gamma_2^3(tau)
(8)
=gamma_3^2(tau)+1728
(9)

(Weber 1979, p. 179; Atkin and Morain 1993)。

j-函数 j 是上半平面上的解析函数，对于特殊线性群 SL(2,Z) 是不变的。它具有傅里叶级数

j(q^_)=sum_(n=-infty)^inftyc(n)q^_^n,
(10)

其中

q^_=q^2=e^(2piitau).
(11)

j(q^_) 因此通过 J(tau) 相关

j(q^_)=1728J(-(ilnq^_)/(2pi)).
(12)

j-函数 j 的展开式中的系数满足

1. c(n)=0 对于 n<-1 和 c(-1)=1，

2. 所有 c(n) 都是整数，相对于 n 增长相当有限，并且

3. j(tau) 是代数数，有时是有理数，有时甚至是整数，在 tau 的某些非常特殊的值处。

后一个结果是复数乘法的庞大而优美理论的最终结果，也是 Kronecker 所谓的“Jugendtraum”的第一步。

因此，洛朗级数中的所有系数

j(q^_)=1/(q^_)+744+196884q^_+21493760q^_^2 +864299970q^_^3+20245856256q^_^4+333202640600q^_^5+...
(13)

(OEIS A000521) 都是正整数 (Rankin 1977, Apostol 1997)。Berwick (1916) 计算了前七个 c(n)，Zuckerman (1939) 找到了前 24 个，van Wijngaarden (193) 给出了前 100 个。

一些涉及 j(tau) 的显著求和公式，其中 tau in H，其中 H 是上半平面，且 c(n) 包括

j(q^_)=([1+240sum_(n=1)^(infty)sigma_3(n)q^_^n]^3)/(q^_product_(n=1)^(infty)(1-q^_^n)^(24))
(14)
=(E_4^3(sqrt(q^_)))/(q(q^_)_infty^(24))
(15)
=([theta_2^8(sqrt(q^_))+theta_3^8(sqrt(q^_))+theta_2^4(sqrt(q^_))]^3)/(8q^_(q^_)_infty^(24)),
(16)

其中 E_4(q) 是 Eisenstein 级数，(q)_infty 是 q-Pochhammer 符号，并且

[-1+504sum_(n=1)^inftysigma_5(n)q^_^n]^2=[j(q^_)-12^3]sum_(n=1)^inftytau(n)q^_^n,
(17)

其中 sigma_k(n) 是除数函数，且 tau(n) 是 tau 函数（不要与半周期比 tau 混淆）。此外，

504^2[-2/(504)sigma_5(n)+sum_(k=1)^(n-1)sigma_5(k)sigma_5(n-k)] =tau(n+1)-984tau(n)+sum_(k=1)^(n-1)c(k)tau(n-k) (65520)/(691)[sigma_(11)(n)-tau(n)] =tau(n+1)+24tau(n)+sum_(k=1)^(n-1)c(k)tau(n-k)
(18)

(Lehmer 1942; Apostol 1997, p. 92)。这些与 Eisenstein 级数密切相关。

公式 (18) 立即导致了显著的同余式

tau(n)=sigma_(11)(n) (mod 691).
(19)

Lehmer (1942) 表明

(n+1)c(n)=0 (mod 24)
(20)

对于所有 n>=1，Lehner (1949ab) 和 Apostol (1997, pp. 22, 74, and 90-91) 证明了

c(2n)=0 (mod 2^(11))
(21)
c(3n)=0 (mod 3^5)
(22)
c(5n)=0 (mod 5^2)
(23)
c(7n)=0 (mod 7)
(24)
c(11n)=0 (mod 11).
(25)

更一般地，

c(2^alphan)=0 (mod 2^(3alpha+8))
(26)
c(3^alphan)=0 (mod 3^(2alpha+3))
(27)
c(5^alphan)=0 (mod 5^(alpha+1))
(28)
c(7^alphan)=0 (mod 7^alpha)
(29)

(Lehner 1949ab; Apostol 1997, p. 91)。对于 13，这种类型的同余式不存在，但 Newman (1958) 表明

c(13np)+c(13n)c(13p)+p^(-1)c((13n)/p)=0 (mod 13),
(30)

其中 p^(-1)p=1 (mod 13) 且 c(x)=0 如果 x 不是整数 (Apostol 1997, p. 91)。Atkin 和 O'Brien (1967) 推广了 c(kn) 的同余式。

Petersson (1932) 发现了 c(n) 的渐近公式，Rademacher (1938) 随后独立地重新发现了该公式

c(n)∼(e^(4pisqrt(n)))/(sqrt(2)n^(3/4)).
(31)

令 d 为无平方因子正整数，并通过以下方式定义半周期比

tau={isqrt(d) for d=1 or 2 (mod 4); 1/2(1+isqrt(d)) for d=3 (mod 4),
(32)

因此

q^_={e^(-2pisqrt(d)) for d=1 or 2 (mod 4); -e^(-pisqrt(d)) for d=3 (mod 4).
(33)

结果表明，j(tau) 是代数整数，其二元二次型判别式 -d 的二次域 Q(sqrt(d)) 的类数 h(-d) 为次数 (Silverman 1986; Berndt 1994, p. 90)。

jFunctionIntegers

如果 h(-d)=1，则 j(tau) 是次数为 1 的代数整数，即仅是一个普通的整数。此外，这个整数是一个完美的立方数。但这些恰好是 Heegner 数 -1、-2、-3、-7、-11、-19、-43、-67、-163。与Heegner 数对应的 j(tau) 的确切值是

j(1+i)=12^3
(34)
j(1+isqrt(2))=20^3
(35)
j(1/2(1+isqrt(3)))=0^3
(36)
j(1/2(1+isqrt(7)))=(-15)^3
(37)
j(1/2(1+isqrt(11)))=(-32)^3
(38)
j(1/2(1+isqrt(19)))=(-96)^3
(39)
j(1/2(1+isqrt(43)))=(-960)^3
(40)
j(1/2(1+isqrt(67)))=(-5280)^3
(41)
j(1/2(1+isqrt(163)))=(-640320)^3.
(42)

上面说明了 tau 的这些特殊值的位置。（请注意，尽管不特别重要，但数字 5280 也是一英里的英尺数。）

Heegner 数 d 的绝对值越大，表达式 e^(pisqrt(-d)) 就越接近整数，因为 j(tau) 中的初始项是最大的，而后续项是最小的。因此，h(-d)=1 的最佳近似值是

e^(pisqrt(43)) approx 960^3+744-2.2×10^(-4)
(43)
e^(pisqrt(67)) approx 5280^3+744-1.3×10^(-6)
(44)
e^(pisqrt(163)) approx 640320^3+744-7.5×10^(-13)
(45)

（后者出现在 Trott 2004, p. 8）。由最后一个生成的近似整数，e^(pisqrt(163))（对应于域 Q(sqrt(-163)) 和最大判别式的虚二次域），有时被称为Ramanujan 常数。然而，这种归因在历史上是错误的，因为 Hermite (1859) 首先注意到 e^(pisqrt(163)) 的这种惊人特性，并且似乎没有出现在 Ramanujan 的任何著作中。

有 18 个数字的类数为 h(-d)=2，奇数判别式不可被 3 整除，对应于确切值

j(1/2(1+isqrt(35)))=-16^3(15+7sqrt(5))^3
(46)
j(1/2(1+isqrt(91)))=-48^3(227+63sqrt(13))^3
(47)
j(1/2(1+isqrt(115)))=-48^3(785+351sqrt(5))^3
(48)
j(1/2(1+isqrt(187)))=-240^3(3451+837sqrt(17))^3
(49)
j(1/2(1+isqrt(235)))=-528^3(8875+3969sqrt(5))^3
(50)
j(1/2(1+isqrt(403)))=-240^3(2809615+779247sqrt(13))^3
(51)
j(1/2(1+isqrt(427)))=-5280^3(236674+30303sqrt(61))^3
(52)

以及 d=4m 时的偶数 m=5、10、13、22、37、58、

j(isqrt(5))=2^3(25+13sqrt(5))^3
(53)
j(isqrt(10))=6^3(65+27sqrt(5))^3
(54)
j(isqrt(13))=30^3(31+9sqrt(13))^3
(55)
j(isqrt(22))=60^3(155+108sqrt(2))^3
(56)
j(isqrt(37))=60^3(2837+468sqrt(37))^3
(57)
j(isqrt(58))=30^3(140989+26163sqrt(29))^3
(58)

以及可被 3 整除的判别式，

j(isqrt(6))=12^3(1+sqrt(2))^2(5+2sqrt(2))^3
(59)
j(1/2(1+isqrt(15)))=-3^3(1/2(1+sqrt(5)))^2(5+4sqrt(5))^3
(60)
j(1/2(1+isqrt(51)))=-48^3(4+sqrt(17))^2(5+sqrt(17))^3
(61)
j(1/2(1+isqrt(123)))=-480^3(32+5sqrt(41))^2×(8+sqrt(41))^3
(62)
j(1/2(1+isqrt(267)))=-240^3(500+53sqrt(89))^2×(625+53sqrt(89))^3
(63)

其中平方因子是基本单位。

对于 h(d)=2 的最佳近似值是，对于偶数判别式，

e^(pisqrt(232)) approx 30^3(140989+26163sqrt(29))^3-744-3.2×10^(-16),
(64)

对于奇数判别式，

e^(pisqrt(427)) approx 5280^3(236674+30303sqrt(61))^3+744-1.3×10^(-23).
(65)

数字

e^(pisqrt(22))=(12sqrt(11))^4-104-1.7×10^(-3)
(66)
e^(pisqrt(37))=(84sqrt(2))^4+104-2.2×10^(-5)
(67)
e^(pisqrt(58))=396^4-104-1.8×10^(-7)
(68)

也是近似整数。这些对应于判别式为 -88、-148 和 -232 的二元二次型，这些是类数为 2 且可被 4 整除的最大（绝对值）判别式。Ramanujan 注意到了它们 (Berndt 1994, pp. 88-91)。

另请参阅

近似整数, Heegner 数, 虚二次域, Klein 的绝对不变量, 怪物群, Ramanujan 常数, 超奇异素数, Weber 函数

此条目部分内容由 Tito Piezas III 贡献

使用 探索

参考文献

Apostol, T. M. "Delta(tau) 和 J(tau) 的傅里叶展开以及模函数 j 的系数的同余式" §1.15 和 Ch. 4 in 数论中的模函数和狄利克雷级数，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 20-22 和 74-93, 1997.Atkin, A. O. L. 和 Morain, F. "椭圆曲线与素性证明." Math. Comput. 61, 29-68, 1993.Atkin, A. O. L. 和 O'Brien, J. N. "p(n) 和 c(n) 模 13 的幂的一些性质." Trans. Amer. Math. Soc. 126, 442-459, 1967.Berndt, B. C. Ramanujan 的笔记本，第四部分. New York: Springer-Verlag, 1994.Berwick, W. E. H. "五次不变量模方程." Quart. J. Math. 47, 94-103, 1916.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi 与 AGM：解析数论和计算复杂性研究. New York: Wiley, pp. 117-118, 1987.Cohen, H. In 从数论到物理学 (M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, 和 C. Itzykson). Berlin: Springer-Verlag, 1992.Cohn, H. 类域构造导论. New York: Dover, p. 73, 1994.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. "九个神奇的判别式." In 数字之书. New York: Springer-Verlag, pp. 224-226, 1996.Hermite, C. "关于模方程理论." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 49, 16-24, 110-118, 和 141-144, 1859 全集，第二卷. Paris: Hermann, p. 61, 1912.Lehmer, D. H. "模不变量 J(tau) 的系数的性质." Amer. J. Math. 64, 488-502, 1942.Lehner, J. "模不变量 j(tau) 的傅里叶系数的可除性性质." Amer. J. Math. 71, 136-148, 1949a.Lehner, J. "模不变量 j(tau) 的傅里叶系数的进一步同余性质." Amer. J. Math. 71, 373-386, 1949b.Morain, F. "Atkin-Goldwasser-Kilian 素性测试算法的实现." Rapport de Recherche 911, INRIA, Oct. 1988.Newman, M. "模形式系数和 j(tau) 系数的同余式." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 609-612, 1958.Ogg, A. P. "模函数." In 1979 年 6 月 25 日至 7 月 20 日在加利福尼亚大学圣克鲁斯分校举行的圣克鲁斯有限群会议 (Ed. B. Cooperstein 和 G. Mason). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 521-532, 1980.Petersson, H. "关于自守形式的展开系数." Acta Math. 58, 169-215, 1932.Piezas, T. "Ramanujan 常数及其表亲." 2005. http://www.geocities.com/titus_piezas/Ramanujan_a.htm.Rademacher, H. "模不变量 j(tau) 的傅里叶系数." Amer. J. Math. 60, 501-512, 1938.Rankin, R. A. 模形式与函数. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 199, 1977.Rankin, R. A. 模形式. New York: Wiley, 1985.Roberts, J. 整数的诱惑. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1992.Serre, J.-P. 算术教程. New York: Springer-Verlag, 1973.Silverman, J. H. 椭圆曲线的算术. New York: Springer-Verlag, p. 339, 1986.Sloane, N. J. A. 整数序列在线百科全书中的序列 A000521/M5477.Stillwell, J. "模奇迹." Amer. Math. Monthly 108, 70-76, 2001.Trott, M. Mathematica 编程指南. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.van Wijngaarden, A. "关于模不变量 J(tau) 的系数." Indagationes Math. 15, 389-400, 1953.Waldschmidt, M. In Ramanujan 百年国际会议 (Ed. R. Balakrishnan, K. S. Padmanabhan, 和 V. Thangaraj). Ramanujan Math. Soc., 1988.Weber, H. 代数学教科书，第一卷和第二卷. New York: Chelsea, 1979.Zuckerman, H. S. "J(tau) 较小系数的计算." Bull. Amer. Math. Soc. 45, 917-919, 1939.

在 上被引用

j-函数

引用为

Piezas, Tito III 和 Weisstein, Eric W. "j-函数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/j-Function.html

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