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赫尔维茨 Zeta 函数

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赫尔维茨 zeta 函数 zeta(s,a) 是 黎曼 zeta 函数 zeta(s) 的推广，也称为广义 zeta 函数。它经典地由 公式 定义

zeta(s,a)=sum_(k=0)^infty1/((k+a)^s)
(1)

对于 R[s]>1，并通过 解析延拓 到其他 s!=1，其中任何包含 k+a=0 的项都被排除在外。它在 Wolfram 语言 中以以下形式实现HurwitzZeta[s, a].

稍微不同的形式

zeta^*(s,a)=sum_(k=0)^infty1/([(a+k)^2]^(s/2))
(2)

在 Wolfram 语言 中实现为Zeta[s, a]. 注意，只有当 R[a]>0 时，两者才相同。

HurwitzZetaFunction

上面的图显示了实数 zeta(s,a) 对于实数 s 和 a 的情况，其中黑色表示零等高线。

对于 a>-1，zeta(s,a) 的全局收敛级数（对于固定的 a，给出了 zeta(s,a) 到整个复数 s 平面的 解析延拓，除了点 s=1）由下式给出

zeta(s,a)=1/(s-1)sum_(n=0)^infty1/(n+1)sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)(a+k)^(1-s)
(3)

（Hasse 1930）。

赫尔维茨 zeta 函数在 Wolfram 语言 中实现为Zeta[s, a].

对于 a=1，zeta(s,a) 简化为 黎曼 zeta 函数 zeta(s)，

zeta(s,1)=zeta(s).
(4)

如果从 zeta(s,a) 的求和定义中排除奇异项，则 zeta(s,0)=zeta(s) 也成立。

赫尔维茨 zeta 函数由积分给出

zeta(s,a)=1/(Gamma(s))int_0^infty(t^(s-1)dt)/(e^(at)(1-e^(-t)))
(5)

对于 R[s]>1 和 R[a]>0。

HurwitzZetaZeros

上面的图说明了 zeta(s,a) 的复零点（Trott 1999），其中 s=x+iy。这里，复数 s 平面是水平的，而实数 a 线是垂直的，范围从底部的 a=1/2 到顶部的 a=1。上方的线是 临界线 R[s]=1/2，其中包含 zeta(s)=zeta(s,1) 的零点。下方两条线是 R[s]=0 和 R[s]=1/2（再次），其中包含 2^s-1 和 zeta(s) 的零点，分别是因为 zeta(s,1/2)=(2^s-1)zeta(s)；参见下面的公式 (9)。

该图也出现在《FOCUS》杂志 2004 年 3 月刊的封面上，该杂志是美国数学协会的新闻杂志。

赫尔维茨 zeta 函数也可以由函数方程给出

zeta(s,p/q)=2Gamma(1-s)(2piq)^(s-1)sum_(n=1)^qsin((pis)/2+(2pinp)/q)zeta(1-s,n/q)
(6)

（Apostol 1995，Miller 和 Adamchik 1999），或积分

zeta(s,a)=1/2a^(-s)+(a^(1-s))/(s-1)+2int_0^infty(a^2+y^2)^(-s/2){sin[stan^(-1)(y/a)]}(dy)/(e^(2piy)-1).
(7)

如果 R[z]<0 且 0<a<=1，则

zeta(z,a)=(2Gamma(1-z))/((2pi)^(1-z))[sin((piz)/2)sum_(n=1)^infty(cos(2pian))/(n^(1-z))+cos((piz)/2)sum_(n=1)^infty(sin(2pian))/(n^(1-z))]
(8)

（Hurwitz 1882；Whittaker 和 Watson 1990，第 268-269 页）。

赫尔维茨 zeta 函数满足

zeta(-n,a)=-(B_(n+1)(a))/(n+1)
(9)

对于 n>=0 （Apostol 1995，第 264 页），其中 B_k(a) 是 伯努利多项式，给出特殊情况

zeta(0,a)=1/2-a.
(10)

此外，

zeta(s,1/2)=sum_(k=0)^(infty)(k+1/2)^(-s)
(11)
=2^ssum_(k=0)^(infty)(2k+1)^(-s)
(12)
=2^s[zeta(s)-sum_(k=1)^(infty)(2k)^(-s)]
(13)
=2^s(1-2^(-s))zeta(s)
(14)
=(2^s-1)zeta(s).
(15)

导数恒等式包括

d/(ds)zeta(0,a)=ln[Gamma(a)]-1/2ln(2pi)
(16)
d/(ds)zeta(0,0)=-1/2ln(2pi),
(17)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数（Baileyet al. 2006，第 179 页）。定义 (1) 意味着

d/(da)zeta(s,a)=-szeta(s+1,a)
(18)

对于 s!=0,1。

在极限情况下，

lim_(s->1)[zeta(s,a)-1/(s-1)]=-psi_0(a)
(19)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 271 页；Allouche 1992），其中 psi_0(z) 是 双伽玛函数。

多伽玛函数 psi_m(z) 可以用赫尔维茨 zeta 函数表示为

psi_m(z)=(-1)^(m+1)m!zeta(1+m,z).
(20)

对于 正整数 k、p 和 q>p，

zeta^'(-2k+1,p/q)=([psi(2k)-ln(2piq)]B_(2k)(p/q))/(2k)-([psi(2k)-ln(2pi)]B_(2k))/(q^(2k)2k)+((-1)^(k+1)pi)/((2piq)^(2k))sum_(n=1)^(q-1)sin((2pipn)/q)psi_((2k-1))(n/q)+((-1)^(k+1)2(2k-1)!)/((2piq)^(2k))sum_(n=1)^(q-1)cos((2pipn)/q)zeta^'(2k,n/q)+(zeta^'(-2k+1))/(q^(2k)),
(21)

其中 B_n 是 伯努利数，B_n(x) 是 伯努利多项式，psi_n(z) 是 多伽玛函数，zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数（Miller 和 Adamchik 1999）。Miller 和 Adamchik (1999) 还给出了闭合形式的表达式（其中下面表达式中已更正了大量印刷错误）

zeta^'(1-2k,1/2)=-(B_(2k)ln2)/(4^kk)-((2^(2k-1)-1)zeta^'(-2k+1))/(2^(2k-1))
(22)
zeta^'(1-2k,1/3; 2/3)=∓(sqrt(3)(9^k-1)B_(2k)pi)/(8k·9^k)-(3B_(2k)ln3)/(4k·9^k)∓((-1)^kpsi_(2k-1)(1/3))/(2sqrt(3)(6pi)^(2k-1))-((9^k-3)zeta^'(1-2k))/(2·9^k)
(23)
zeta^'(1-2k,1/4; 3/4)=∓((4^k-1)B_(2k)pi)/(4^(k+1)k)+((4^(k-1)-1)B_(2k)ln2)/(k·2^(4k-1))∓((-1)^kpsi_(2k-1)(1/4))/(4(8pi)^(2k-1))-((4^k-2)zeta^'(1-2k))/(2^(4k))
(24)
zeta^'(1-2k,1/6; 5/6)=∓((9^k-1)(2^(2k-1)+1)B_(2k)pi)/(8sqrt(3)k·6^(2k-1))+(B_(2k)(3^(2k-1)-1)ln2)/(4k·6^(2k-1))+(B_(2k)(2^(2k-1)-1)ln3)/(4k·6^(2k-1))∓((-1)^k(2^(2k-1)+1)psi_(2k-1)(1/3))/(2sqrt(3)(12pi)^(2k-1))+((2^(2k-1)-1)(3^(2k-1)-1)zeta^'(1-2k))/(2·6^(2k-1)),
(25)

其中 zeta^'(z_0,a) 表示 dzeta(z,a)/dz|_(z=z_0)，zeta^'(z_0) 表示 dzeta(z)/dz|_(z=z_0)，并且等式左侧的上下分数分别对应于右侧的正负号。

另请参阅

赫尔维茨公式、辛钦常数、多伽玛函数、QRS 常数、黎曼 Zeta 函数、Zeta 函数

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/

本条目的部分内容由 Jonathan Sondow 贡献 (作者链接)

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参考文献

Adamchik, V. "A Class of Logarithmic Integrals." In ISSAC'97: July 21-23, 1997, Maui, Hawaii: Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (Ed. W. W. Kuechlin). New York: ACM, 1997.Adamchik, V. S. and Srivastava, H. M. "Some Series of the Zeta and Related Functions." Analysis 18, 131-144, 1998.Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1995.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Berndt, B. C. "On the Hurwitz Zeta-Function." Rocky Mountain J. Math. 2, 151-157, 1972.Cvijovic, D. and Klinowski, J. "Values of the Legendre Chi and Hurwitz Zeta Functions at Rational Arguments." Math. Comput. 68, 1623-1630, 1999.Elizalde, E.; Odintsov, A. D.; and Romeo, A. Zeta Regularization Techniques with Applications. River Edge, NJ: World Scientific, 1994.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Generalized Zeta Function." §1.10 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 24-27, 1981.Hasse, H. "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche zeta-Reihe." Math. Z. 32, 458-464, 1930.Hauss, M. Verallgemeinerte Stirling, Bernoulli und Euler Zahlen, deren Anwendungen und schnell konvergente Reihen für Zeta Funktionen. Aachen, Germany: Verlag Shaker, 1995.Hurwitz, A. "Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen Funktionen F(s)=sum(D/n)·1/(n^s), die bei der Bestimmung der Klassenanzahlen Binärer quadratischer Formen auftreten." Z. für Math. und Physik 27, 86-101, 1882.Knopfmacher, J. "Generalised Euler Constants." Proc. Edinburgh Math. Soc. 21, 25-32, 1978.Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1966.Miller, J. and Adamchik, V. "Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments." J. Comput. Appl. Math. 100, 201-206, 1999.Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function zeta(s,x), Bernoulli Polynomials B_n(x), Euler Polynomials E_n(x), and Polylogarithms Li_nu(x)." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hurwitz Function zeta(nu;u)." Ch. 62 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 653-664, 1987.Trott, M. "Zeros of the Generalized Riemann Zeta Function zeta(s,a) as a Function of a." Background image in graphics gallery. In Wolfram, S. The Mathematica Book, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 982, 1999. http://documents.wolfram.com/v4/MainBook/G.2.22.html.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 268-269, 1990.Wilton, J. R. "A Note on the Coefficients in the Expansion of zeta(s,x) in Powers of s-1." J. Pure Appl. Math. 50, 329-332, 1927.

在 Wolfram|Alpha 上引用

赫尔维茨 Zeta 函数

请引用为

Jonathan Sondow 和 Eric W. Weisstein。“赫尔维茨 Zeta 函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。https://mathworld.net.cn/HurwitzZetaFunction.html

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