学生 t 分布

威廉·戈塞特于 1908 年发表的一种统计分布。他的雇主吉尼斯啤酒厂要求他使用笔名发表，因此他选择了“Student”。 给定 个独立测量值 ，令

其中 是总体均值， 是样本均值，s 是总体标准差（即样本方差）的估计量，定义为

学生 -分布定义为随机变量 的分布，它（非常粗略地）是在不知道 的情况下我们能做的“最好”的。

具有 个自由度的学生 分布在 Wolfram 语言中实现为StudentTDistribution[n].

如果 ， 并且分布变为正态分布。 随着 的增加，学生 -分布接近正态分布。

学生 -分布可以通过使用以下公式转换 Student's z-分布来导出

然后定义

得到的概率和累积分布函数是

其中

是自由度数，， 是伽玛函数， 是贝塔函数， 是超几何函数，I(z;a,b) 是由下式定义的正则化贝塔函数

学生 -分布的均值、方差、偏度和峰度超额为

前几个 值的特征函数 是

等等，其中 是第二类修正贝塞尔函数。

下表给出了置信区间，即 的值，使得分布函数 分布函数 等于各种概率，对于自由度数 的各种小值。 Beyer（1987 年，第 571 页）给出了 60%、70%、90%、95%、97.5%、99%、99.5% 和 99.95% 的置信区间，Goulden（1956 年）给出了 50%、90%、95%、98%、99% 和 99.9% 的置信区间。

具有相关矩阵 和 个自由度的学生 分布的多元形式实现为MultivariateTDistribution[r, m] 在 Wolfram 语言包中MultivariateStatistics` .

所谓的 分布对于测试两个观察到的分布是否具有相同的均值很有用。 给出了对于具有 个自由度的某个统计量 ，两个观察到的均值之差纯粹是偶然机会小于观察值的概率

令 为均值为 0 且方差为 正态分布的随机变量，令 均值 ，令 具有自由度为 卡方分布 ，并令 自由度 和 独立。 然后

分布为自由度为 的学生 分布。