自然对数 2

2 的自然对数是一个超越量，常出现在衰减问题中，尤其是在半衰期转换为衰减常数时。 的数值为

(OEIS A002162)。

无理数测度 已知小于 3.8913998 (Rukhadze 1987, Hata 1990)。

尚不清楚 是否为正规数 (Bailey and Crandall 2002)。

交错级数 和 BBP 型公式

收敛到自然对数 2，其中 是 狄利克雷 eta 函数。这个恒等式直接从在 墨卡托级数中设置 得出，得到

它也是恒等式的一个特例

其中 是 勒奇超越函数。

这是此类无限类恒等式中最简单的一个，前几个是

(E. W. Weisstein, 10 月 7 日，2007 年)。

还有许多其他类别的 BBP 型公式 用于 ，包括

Plouffe (2006) 发现了美丽的求和公式

A. Lupas 提出的快速收敛的 Zeilberger 型求和公式由下式给出

(Lupas 2000；勘误已更正)。

以下积分以 表示，

上面的图显示了截断 在 项后的级数的结果。

取部分级数给出解析结果

其中 是 双伽玛函数， 是 调和数。令人惊讶的是，在无穷远处展开得到级数

(Borwein 和 Bailey 2002, p. 50)，其中 是 正切数。这意味着在 10 的较大幂的一半处截断 的级数可以给出 的十进制展开式，其十进制数字大部分是正确的，但错误数字以精确的规律出现。

例如，取 得到一个十进制值，该值等于上面第二行数字，其中与顶行中 的十进制数字的差异序列恰好是带有交替符号的正切数 (Borwein 和 Bailey 2002, p. 49)。

用于 的漂亮的 BBP 型公式 由下式给出

(Bailey et al. 2007, p. 31) 和

(Borwein 和 Bailey 2002, p. 129)。

使用 PSLQ 算法 发现的用于 的 BBP 型公式 为

(Bailey 和 Plouffe 1997；Borwein 和 Bailey 2002, p. 128)。

求和

具有极限

(Borwein et al. 2004, p. 10)。