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余弦定理

LawofCosines

设 a, b, 和 c 为三角形的边长，分别对应角 A, B, 和 C。那么余弦定理指出

a^2=b^2+c^2-2bccosA
(1)
b^2=a^2+c^2-2accosB
(2)
c^2=a^2+b^2-2abcosC.
(3)

解出余弦值得到等价公式

cosA=(-a^2+b^2+c^2)/(2bc)
(4)
cosB=(a^2-b^2+c^2)/(2ac)
(5)
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab).
(6)

这个定理可以通过多种方式推导出来。点积的定义包含了余弦定理，因此从 X 到 Y 的向量长度由下式给出

|X-Y|^2=(X-Y)·(X-Y)
(7)
=X·X-2X·Y+Y·Y
(8)
=|X|^2+|Y|^2-2|X||Y|costheta,
(9)

其中 theta 是 X 和 Y 之间的角。

LawOfCosinesTriangles

这个公式也可以通过少许几何学和简单的代数推导出来。从上图可知，

c^2=(asinC)^2+(b-acosC)^2
(10)
=a^2sin^2C+b^2-2abcosC+a^2cos^2C
(11)
=a^2+b^2-2abcosC.
(12)

球面三角形的边余弦定理指出

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA
(13)
cosb=cosccosa+sincsinacosB
(14)
cosc=cosacosb+sinasinbcosC
(15)

(Beyer 1987)。球面三角形的角余弦定理指出

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa
(16)
cosB=-cosCcosA+sinCsinAcosb
(17)
cosC=-cosAcosB+sinAsinBcosc
(18)

(Beyer 1987)。

对于相似三角形，广义余弦定理由下式给出

aa^'=bb^'+cc^'-(bc^'+b^'c)cosA
(19)

(Lee 1997)。此外，考虑任意四面体 A_1A_2A_3A_4，其三角形面为 T_1=DeltaA_2A_3A_4, T_2=DeltaA_1A_3A_4, T_3=DeltaA_1A_2A_4 和 T_4=A_1A_2A_3。设这些三角形的面积分别为 s_1, s_2, s_3 和 s_4，并用 theta_(ij) 表示 T_i 和 T_j 之间的二面角，其中 i!=j=1,2,3,4。那么

s_k=sum_(j!=k; 1<=i<=4)s_icostheta_(ki),
(20)

这给出了四面体中的余弦定理，

s_k^2=sum_(i!=k; 1<=j<=4)s_j^2-2sum_(i,j!=k; 1<=i,j<=4)s_is_jcostheta_(ij)
(21)

(Lee 1997)。一个推论给出了漂亮的恒等式

s_1s_1^'=s_2s_2^'+s_3s_3^'+s_4s_4^'-(s_2s_3^'+s_2^'s_3)costheta_(23) -(s_3s_4^'+s_3^'s_4)costheta_(34)-(s_2s_4^'+s_2^'s_4)costheta_(24).
(22)

另请参阅

正弦定理, 正切定理 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版. 纽约: Dover, p. 79, 1972.Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 148-149, 1987.Lee, J. R. "四面体中的余弦定理". J. Korea Soc. Math. Ed. Ser. B: Pure Appl. Math. 4, 1-6, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

余弦定理

引用为

Weisstein, Eric W. "余弦定理." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源. https://mathworld.net.cn/LawofCosines.html

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