海伦公式

平面几何中的一个重要定理，也称为海伦公式。 给定边长 , , 和 以及半周长

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对于一个三角形，海伦公式给出面积 的三角形 为

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海伦公式可以使用 Cayley-Menger 行列式以优美的方式表达为

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另一个高度对称的形式由下式给出

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(Buchholz 1992)。

将边长 , , 和 用三角形顶点为圆心的相互相切圆的半径 , , 和 ' 表示（这些圆定义了索迪圆），

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给出特别优美的形式

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海伦的证明（Dunham 1990）非常巧妙但极其复杂，它汇集了一系列表面上不相关的几何恒等式，并依赖于圆内接四边形和直角三角形的性质。 海伦的证明可以在他的著作Metrica（约公元前 100 年至公元 100 年）的命题 1.8 中找到。 这份手稿已经失传了几个世纪，直到 1894 年发现了一个片段，1896 年发现了一个完整副本（Dunham 1990，第 118 页）。 最近，阿拉伯学者阿布·赖汉·穆罕默德·比鲁尼的著作将该公式归功于海伦之前的阿基米德，时间在公元前 212 年之前（van der Waerden 1961，第 228 页和 277 页； Coxeter 和 Greitzer 1967，第 59 页；Kline 1990；Bell 1986，第 58 页； Dunham 1990，第 127 页）。

一个更容易理解的代数证明从余弦定理开始，

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然后

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给出

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(Coxeter 1969)。 海伦公式包含勾股定理作为一种退化情况。