正方形三角形选取

正方形三角形选取是在一个正方形内随机放置的点的三元组（对应于一个三角形的端点）的选择。个随机三角形可以在单位正方形中使用 Wolfram 语言中的以下函数选取RandomPoint[Rectangle[], n, 3].

给定在单位正方形内随机选择的三个点，由这些点确定的三角形的平均面积由以下多重积分解析给出

			(1)
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这里，表示三角形的多边形顶点，其中 , 2, 3，并且这些三角形的（有符号）面积由行列式给出

			(3)
			(4)

该解最早由 Woolhouse (1867) 给出。由于尝试通过蛮力计算积分会导致难以处理的被积函数，因此使用计算机代数处理的最佳方法是使用柱状代数分解将六维积分区域划分为子区域，使得的符号不变，直接在每个区域中进行积分，然后合并结果 (Trott 1998)。根据积分变量的排序顺序，可以获得 32 到 4168 个区域。合并这些部分的结果给出了平均三角形面积

(5)

(Ambartzumian 1987, Pfiefer 1989, Trott 1998; Trott 2006, pp. 303-304)。

一旦已知，面积的方差很容易计算，首先计算原点矩 ,

			(6)
			(7)

给出

			(8)
			(9)
			(10)

在一个正方形内接随机三角形的面积的分布函数由下式精确给出

(11)

(M. Trott, 私人通信，2005 年 1 月 27 日；Trott 2006, p. 306)。相应的分布函数由下式给出

(12)

(Philip)。

满足美丽的四阶常微分方程

(13)

(M. Trott, 私人通信，2005 年 1 月 27 日；Trott 2006, p. 307)。

这给出了原点矩的优美公式为

(14)

其中是一个调和数，因此 , 2, ... 的原点矩为 11/144, 1/96, 137/9000, 1/2400, 363/109760, ... (OEIS A093158 和 A093159)。

对于第个中心矩，闭合形式更难计算，但前几个 , 2, ... 为 0, 95/20736, 75979/186624000, 1752451/17915904000, ... (OEIS A103281 和 A103282; Trott 2006, p. 307)。

给定点位于随机选取的三角形内的概率的闭合形式也可以获得为

P_0(x,y)=(f(x,y)(x-1)^2)/(2x(y-1)y)-3/2(6xy^2-4y^2-6xy+4y+2x-1)ln(1/x-1)(x-1)^2+3/2(2y-1)(2xy^2-2y^2-2xy+2y+2x-1)ln(1/y-1)
×(x-1)^2,

(15)

其中

(16)

(M. Trott, 私人通信，2005 年 1 月 31 日；Trott 2006, p. 310)。此表达式对于和有效，整个单位正方形上的表达式由对称性给出为

$P(x,y)={P_0(x,y) for 1/2<=x<1,1/2<=y<=x; P_0(x,1-y) for 1/2<=x<1, 1/2<=1-y<=x; P_0(1-y,x) for 1/2<=x<1, 0<y<=1-x; P_0(1-y,1-x) for 0<x<=1/2, 0<y<=x; P_0(1-x,1-y) for 0<x<=1/2, x<=y<=1/2; P_0(1-x,y) for 0<x<=1/2, x<=1-y<=1/2; P_0(y,1-x) for 0<x<=1/2, 0<1-y<=x; P_0(y,x) for 1/2<=x<1, 0<1-y<=1-x.$

(17)

正如预期的那样，此表达式满足

(18)

在单位正方形中随机选取三个点，并将这三个点形成钝角三角形的概率表示为。Langford (1969) 证明了

			(19)
			(20)

(OEIS A093072)。

另请参阅

立方体四面体选取, 海尔布朗三角形问题, 六边形三角形选取, 钝角三角形, 多边形三角形选取, 正方形直线选取, 西尔维斯特四点问题, 三角形三角形选取, 单位正方形

在中探索

更多尝试

参考文献

Alagar, V. S. "On the Distribution of a Random Triangle." J. Appl. Prob. 14, 284-297, 1977.Ambartzumian, R. V. (Ed.). Stochastic and Integral Geometry. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1987.Buchta, C. "Über die konvexe Hülle von Zufallspunkten in Eibereichen." Elem. Math. 38, 153-156, 1983.Buchta, C. "Zufallspolygone in konvexen Vielecken." J. reine angew. Math. 347, 212-220, 1984.Finch, S. R. "Geometric Probability Constants." §8.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 479-484, 2003.Henze, N. "Random Triangles in Convex Regions." J. Appl. Prob. 20, 111-125, 1983.Klee, V. "What Is the Expected Volume of a Simplex Whose Vertices Are Chosen at Random from a Given Convex Body." Amer. Math. Monthly 76, 286-288, 1969.Langford, E. "The Probability that a Random Triangle is Obtuse." Biometrika 56, 689-690, 1969.Pfiefer, R. E. "The Historical Development of J. J. Sylvester's Four Point Problem." Math. Mag. 62, 309-317, 1989.Philip, J. "The Area of a Random Convex Polygon." Tech. Report TRITA MAT 04 MA 07. n.d. http://www.math.kth.se/~johanph/area12.pdf.Santaló, L. A. Integral Geometry and Geometric Probability. Reading, MA: Addison-Wesley, 1976.Seidov, Z. F. "Letters: Random Triangle." Mathematica J. 7, 414, 2000.Seidov, Z. F. 2000. http://axchiv.org/abs/math.GM/0002134/.Sloane, N. J. A. Sequences A093072, A093158, A093159, A103281, and A103282 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Trott, M. "The Area of a Random Triangle." Mathematica J. 7, 189-198, 1998. http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/3413/.Trott, M. "Area of a Random Triangle in a Square." §1.10.1 in The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, pp. 298-311, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Woolhouse, W. S. B. "Question 2471." Mathematical Questions, with Their Solutions, from the Educational Times, Vol. 8. London: F. Hodgson and Son, pp. 100-105, 1867.