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测地线

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测地线是局部长度最小化的曲线。等价地，它是非加速粒子将遵循的路径。在平面上，测地线是直线。在球面上，测地线是大圆（如赤道）。空间中的测地线取决于黎曼度量，黎曼度量影响距离和加速度的概念。

测地线在曲面上保持方向（Tietze 1965，第 26-27 页），并具有许多其他有趣的性质。测地线弧上任何点的法向量都沿着该点曲面的法线方向（Weinstock 1974，第 65 页）。

此外，无论球面如何变形，其上都存在无数条闭合测地线。这个在 1990 年代初期被证明的普遍结果，扩展了 Birkhoff 早期的工作，他在 1917 年证明在变形球面上至少存在一条闭合测地线，以及 Lyusternik 和 Schnirelmann，他们在 1923 年证明在这样的球面上至少存在三条闭合测地线（Cipra 1993，第 28 页）。

对于由 x=x(u,v), y=y(u,v), 和 z=z(u,v) 参数化给出的曲面，可以通过最小化弧长来找到测地线

I=intds=intsqrt(dx^2+dy^2+dz^2).
(1)

但是

dx=(partialx)/(partialu)du+(partialx)/(partialv)dv
(2)
dx^2=((partialx)/(partialu))^2du^2+2(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)dudv+((partialx)/(partialv))^2dv^2,
(3)

以及类似的 dy^2 和 dz^2。代入，

I=int{[((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2]du^2+2[(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)]dudv+[((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2]dv^2}^(1/2).
(4)

这可以重写为

I=intsqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(5)
=intsqrt(Pu^('2)+2Qu^'+R)dv,
(6)

其中

v^'=(dv)/(du)
(7)
u^'=(du)/(dv)
(8)

和

P=((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2
(9)
Q=(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)
(10)
R=((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2.
(11)

从方程 (◇) 开始

I=intsqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(12)
=intLdu,
(13)

并求导数，

(partialL)/(partialv)=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)((partialP)/(partialv)+2(partialQ)/(partialv)v^'+(partialR)/(partialv)v^('2))
(14)
(partialL)/(partialv^')=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)(2Q+2Rv^'),
(15)

那么欧拉-拉格朗日微分方程给出

((partialP)/(partialv)+2v^'(partialQ)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))-d/(du)((Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))))=0.
(16)

在 P, Q, 和 R 是 u 的显式函数的特殊情况下，

(Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))=c_1
(17)
(Q^2+2QRv^'+R^2v^('2))/(P+2Qv^'+Rv^('2))=c_1^2
(18)
v^('2)R(R-c_1^2)+2v^'Q(R-c_1^2)+(Q^2-Pc_1^2)=0
(19)
v^'=1/(2R(R-c_1^2))[2Q(c_1^2-R)+/-sqrt(4Q^2(R-c_1^2)^2-4R(R-c_1^2)(Q^2-Pc_1^2))].
(20)

现在，如果 P 和 R 只是 u 的显式函数且 Q=0,

v^'=(sqrt(4R(R-c_1^2)Pc_1^2))/(2R(R-c_1^2))=c_1sqrt(P/(R(R-c_1^2))),
(21)

所以

v=c_1intsqrt(P/(R(R-c_1^2)))du.
(22)

在 Q=0 的情况下，其中 P 和 R 只是 v 的显式函数，那么

((partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+Rv^('2)))-d/(du)((Rv^')/(sqrt(P+Rv^('2))))=0,
(23)

所以

(partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv)-2sqrt(P+Rv^('2))R[(v^(''))/(sqrt(P+Rv^('2)))+(-1/2)(v^'(2Rv^'v^('')))/((P+Rv^('2))^(3/2))]=0
(24)
(partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv)-2Rv^('')+(2R^2v^('2)v^(''))/(P+Rv^('2))=0
(25)
(Rv^('2))/(sqrt(P+Rv^('2)))-sqrt(P+Rv^('2))=c_1
(26)
Rv^('2)-(P+Rv^('2))=c_1sqrt(P+Rv^('2))
(27)
(-P/(c_1))^2=P+Rv^('2)
(28)
(P^2-c_1^2P)/(Rc_1^2)=v^('2),
(29)

和

u=c_1intsqrt(R/(P^2-c_1^2P))dv.
(30)

对于旋转曲面，其中 y=g(x) 绕 x-轴 旋转，使得曲面方程为

y^2+z^2=g^2(x),
(31)

曲面可以参数化为

x=u
(32)
y=g(u)cosv
(33)
z=g(u)sinv.
(34)

那么测地线的方程是

v=c_1int(sqrt(1+[g^'(u)]^2)du)/(g(u)sqrt([g(u)]^2-c_1^2)).
(35)

另请参阅

Blaschke 猜想, 椭球测地线, 测地曲率, 测地圆顶, 测地线方程, 测地映射, 测地三角形, 图测地线, 大圆, 调和映射, 扁球面测地线, 抛物面测地线, Wiedersehen 曲面, Zoll 曲面

本条目部分内容由 Todd Rowland 贡献

使用 探索

参考文献

Cipra, B. What's Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 21-25, 1993.Tietze, H. Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. New York: Graylock Press, 1965.Weinstock, R. Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering. New York: Dover, 1974.Weyl, H. Mathematische Analyse des Raumproblems: Was Ist Materie? Berlin: Wissenschaftl. Buchgesellschaft, 1923.

在 中被引用

测地线

请引用为

Rowland, Todd 和 Weisstein, Eric W. "测地线。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Geodesic.html

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