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测地线

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测地线是局部长度最小化的曲线。等价地，它是非加速粒子将遵循的路径。在平面上，测地线是直线。在球面上，测地线是大圆（如赤道）。空间中的测地线取决于黎曼度量，黎曼度量影响距离和加速度的概念。

测地线在曲面上保持方向（Tietze 1965，第 26-27 页），并具有许多其他有趣的性质。测地线弧上任何点的法向量都沿着该点曲面的法线方向（Weinstock 1974，第 65 页）。

此外，无论球面如何变形，其上都存在无数条闭合测地线。这个在 1990 年代初期被证明的普遍结果，扩展了 Birkhoff 早期的工作，他在 1917 年证明在变形球面上至少存在一条闭合测地线，以及 Lyusternik 和 Schnirelmann，他们在 1923 年证明在这样的球面上至少存在三条闭合测地线（Cipra 1993，第 28 页）。

对于由 x=x(u,v), y=y(u,v), 和 z=z(u,v) 参数化给出的曲面，可以通过最小化弧长来找到测地线

I=intds=intsqrt(dx^2+dy^2+dz^2).
(1)

但是

dx=(partialx)/(partialu)du+(partialx)/(partialv)dv
(2)
dx^2=((partialx)/(partialu))^2du^2+2(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)dudv+((partialx)/(partialv))^2dv^2,
(3)

以及类似的 dy^2 和 dz^2。代入，

I=int{[((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2]du^2+2[(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)]dudv+[((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2]dv^2}^(1/2).
(4)

这可以重写为

I=intsqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(5)
=intsqrt(Pu^('2)+2Qu^'+R)dv,
(6)

其中

v^'=(dv)/(du)
(7)
u^'=(du)/(dv)
(8)

和

P=((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2
(9)
Q=(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)
(10)
R=((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2.
(11)

从方程 (◇) 开始

I=intsqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(12)
=intLdu,
(13)

并求导数，

(partialL)/(partialv)=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)((partialP)/(partialv)+2(partialQ)/(partialv)v^'+(partialR)/(partialv)v^('2))
(14)
(partialL)/(partialv^')=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)(2Q+2Rv^'),
(15)

那么欧拉-拉格朗日微分方程给出

((partialP)/(partialv)+2v^'(partialQ)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))-d/(du)((Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))))=0.
(16)

在 P, Q, 和 R 是 u 的显式函数的特殊情况下，

(Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))=c_1
(17)
(Q^2+2QRv^'+R^2v^('2))/(P+2Qv^'+Rv^('2))=c_1^2
(18)
v^('2)R(R-c_1^2)+2v^'Q(R-c_1^2)+(Q^2-Pc_1^2)=0
(19)
v^'=1/(2R(R-c_1^2))[2Q(c_1^2-R)+/-sqrt(4Q^2(R-c_1^2)^2-4R(R-c_1^2)(Q^2-Pc_1^2))].
(20)

现在，如果 P 和 R 只是 u 的显式函数且 Q=0,

v^'=(sqrt(4R(R-c_1^2)Pc_1^2))/(2R(R-c_1^2))=c_1sqrt(P/(R(R-c_1^2))),
(21)

所以

v=c_1intsqrt(P/(R(R-c_1^2)))du.
(22)

在 Q=0 的情况下，其中 P 和 R 只是 v 的显式函数，那么

((partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+Rv^('2)))-d/(du)((Rv^')/(sqrt(P+Rv^('2))))=0,
(23)

所以

(partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv)-2sqrt(P+Rv^('2))R[(v^(''))/(sqrt(P+Rv^('2)))+(-1/2)(v^'(2Rv^'v^('')))/((P+Rv^('2))^(3/2))]=0
(24)
(partialP)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv)-2Rv^('')+(2R^2v^('2)v^(''))/(P+Rv^('2))=0
(25)
(Rv^('2))/(sqrt(P+Rv^('2)))-sqrt(P+Rv^('2))=c_1
(26)
Rv^('2)-(P+Rv^('2))=c_1sqrt(P+Rv^('2))
(27)
(-P/(c_1))^2=P+Rv^('2)
(28)
(P^2-c_1^2P)/(Rc_1^2)=v^('2),
(29)

和

u=c_1intsqrt(R/(P^2-c_1^2P))dv.
(30)

对于旋转曲面，其中 y=g(x) 绕 x-轴 旋转，使得曲面方程为

y^2+z^2=g^2(x),
(31)

曲面可以参数化为

x=u
(32)
y=g(u)cosv
(33)
z=g(u)sinv.
(34)

那么测地线的方程是

v=c_1int(sqrt(1+[g^'(u)]^2)du)/(g(u)sqrt([g(u)]^2-c_1^2)).
(35)

另请参阅

Blaschke 猜想, 椭球测地线, 测地曲率, 测地圆顶, 测地线方程, 测地映射, 测地三角形, 图测地线, 大圆, 调和映射, 扁球面测地线, 抛物面测地线, Wiedersehen 曲面, Zoll 曲面

本条目部分内容由 Todd Rowland 贡献

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参考文献

Cipra, B. What's Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 21-25, 1993.Tietze, H. Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. New York: Graylock Press, 1965.Weinstock, R. Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering. New York: Dover, 1974.Weyl, H. Mathematische Analyse des Raumproblems: Was Ist Materie? Berlin: Wissenschaftl. Buchgesellschaft, 1923.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

测地线

请引用为

Rowland, Todd 和 Weisstein, Eric W. "测地线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Geodesic.html

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