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超球面

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Supersphere

超球面是 代数曲面，是 超椭圆 的特殊情况，其中 a=b=c。其方程为

|x/a|^n+|y/a|^n+|z/a|^n=1
(1)

或

|x|^n+|y|^n+|z|^n=a^n
(2)

对于半径 a 和指数 n。

下表总结了特殊情况及其体积。

n表面体积（a=1 时）
1正八面体4/3
2球体(4pi)/3
4([Gamma(1/4)]^4)/(6sqrt(2)pi)
6豪泽的“立方体”(2[Gamma(1/6)]^3)/(27sqrt(pi))
infty立方体8

表面积 由下式给出

S_n=48int_0^(pi/4)int_0^(sec^(-1)(sqrt(2+tan^2phi)))sqrt((cos^mthetasin^2theta+sin^(2n)theta(cos^mphi+sin^mphi))/([cos^ntheta+sin^ntheta(cos^nphi+sin^nphi)^(n+1/2)]))dthetadphi
(3)

（Trott 2006, p. 301），其中 m=2n-2。

封闭的体积 由下式给出

V_n=8a^3int_0^1int_0^((1-x^n)^(1/n))(1-x^n-y^n)^(1/n)dydx
(4)
=(8[Gamma(1+1/n)]^3)/(Gamma(1+3/n))a^3.
(5)

当 n->infty 时，实体变为立方体，因此

lim_(n->infty)V_n=8a^3
(6)

这是必然的。这是积分 3.2.2.2 的特例

intintint_(x>=0,y>=0,z>=0; (x/a)^p+(y/b)^q+(z/c)^r<=1)x^(alpha-1)y^(beta-1)z^(gamma-1)dxdydz=(a^alphab^betac^gamma)/(pqr)(Gamma(alpha/p)Gamma(beta/q)Gamma(gamma/r))/(Gamma(alpha/p+beta/q+gamma/r+1))
(7)

在 Prudnikovet al. (1986, p. 583) 中。案例 n=2 和 n=6 似乎是仅有的整数，其对应的实体具有简单的惯性矩张量，由下式给出

I_2=[2/5Ma^2 0 0; 0 2/5Ma^2 0; 0 0 2/5Ma^2]
(8)
I_6=[3/5Ma^2 0 0; 0 3/5Ma^2 0; 0 0 3/5Ma^2].
(9)

另请参阅

球体， 超卵体， 超椭球体

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参考文献

Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 292, 1997.Hauser, H. "Gallery of Singular Algebraic Surfaces: Cube." https://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/gallery.html.POV-Ray Team. "Superquadratic Ellipsoid." §4.5.1.10 in Persistence of Vision Ray-Tracer Version 3.1g User's Documentation, p. 199, May 1999.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions. New York: Gordon and Breach, 1986.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Numerics. New York: Springer-Verlag, pp. 301-303, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

请引用为

Weisstein, Eric W. "超球面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Supersphere.html

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