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圆柱坐标

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CylindricalCoordinates

圆柱坐标是通过叠加高度（z）轴，将二维极坐标推广到三维的一种坐标系统。遗憾的是，对于另外两个坐标，使用了许多不同的符号。径向坐标可以使用 r 或 rho，方位角坐标可以使用 phi 或 theta。例如，Arfken (1985) 使用 (rho,phi,z)，而 Beyer (1987) 使用 (r,theta,z)。在本工作中，使用 符号 (r,theta,z)。

下表总结了许多作者使用的符号约定。

（径向，方位角，垂直）参考文献
(r,theta,z)本工作, Beyer (1987, p. 212)
(Rr, Ttheta, Zz)SetCoordinates[Cylindrical] 在 Wolfram Language 包中VectorAnalysis`
(rho,phi,z)Arfken (1985, p. 95)
(r,psi,z)Moon and Spencer (1988, p. 12)
(r^',phi,z)Korn and Korn (1968, p. 60)
(xi_1,xi_2,xi_3)Morse and Feshbach (1953)

用笛卡尔坐标 (x,y,z) 表示，

r=sqrt(x^2+y^2)
(1)
theta=tan^(-1)(y/x)
(2)
z=z,
(3)

其中 r in [0,infty), theta in [0,2pi), z in (-infty,infty), 并且 反正切 必须经过适当定义，以考虑 (x,y) 的正确象限。

用 x, y, 和 z 表示

x=rcostheta
(4)
y=rsintheta
(5)
z=z.
(6)

请注意，Morse 和 Feshbach (1953) 将圆柱坐标定义为

x=xi_1xi_2
(7)
y=xi_1sqrt(1-xi_2^2)
(8)
z=xi_3,
(9)

其中 xi_1=r 和 xi_2=costheta。

圆柱坐标的度量元素是

g_(rr)=1
(10)
g_(thetatheta)=r^2
(11)
g_(zz)=1,
(12)

因此尺度因子是

g_r=1
(13)
g_theta=r
(14)
g_z=1.
(15)

线元素是

ds=drr^^+rdthetatheta^^+dzz^^,
(16)

体积元素是

dV=rdrdthetadz.
(17)

雅可比行列式是

|(partial(x,y,z))/(partial(r,theta,z))|=r.
(18)

笛卡尔向量在圆柱坐标中由下式给出

r=[rcostheta; rsintheta; z].
(19)

要找到单位向量，

r^^=((dr)/(dr))/(|(dr)/(dr)|)=[costheta; sintheta; 0]
(20)
theta^^=((dr)/(dtheta))/(|(dr)/(dtheta)|)=[-sintheta; costheta; 0]
(21)
z^^=((dr)/(dz))/(|(dr)/(dz)|)=[0; 0; 1].
(22)

单位向量关于坐标的导数是

(partialr^^)/(partialr)=0
(23)
(partialr^^)/(partialtheta)=theta^^
(24)
(partialr^^)/(partialz)=0
(25)
(partialtheta^^)/(partialr)=0
(26)
(partialtheta^^)/(partialtheta)=-r^^
(27)
(partialtheta^^)/(partialz)=0
(28)
(partialz^^)/(partialr)=0
(29)
(partialz^^)/(partialtheta)=0
(30)
(partialz^^)/(partialz)=0.
(31)

圆柱坐标中的梯度算符由下式给出

del =r^^partial/(partialr)+theta^^1/rpartial/(partialtheta)+z^^partial/(partialz),
(32)

因此梯度分量变为

del _rr^^=0
(33)
del _thetar^^=1/rtheta^^
(34)
del _zr^^=0
(35)
del _rtheta^^=0
(36)
del _thetatheta^^=-1/rr^^
(37)
del _ztheta^^=0
(38)
del _rz^^=0
(39)
del _thetaz^^=0
(40)
del _zz^^=0.
(41)

Misner et al. (1973, p. 209) 定义的第二类克里斯托费尔符号由下式给出

Gamma^r=[0 0 0; 0 -1/r 0; 0 0 0]
(42)
Gamma^theta=[0 1/r 0; 0 0 0; 0 0 0]
(43)
Gamma^z=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0].
(44)

Arfken (1985) 定义的第二类克里斯托费尔符号由下式给出

Gamma^r=[0 0 0; 0 -r 0; 0 0 0]
(45)
Gamma^theta=[0 1/r 0; 1/r 0 0; 0 0 0]
(46)
Gamma^z=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]
(47)

(Walton 1967; Arfken 1985, p. 164, Ex. 3.8.10; Moon and Spencer 1988, p. 12a)。

协变导数然后由下式给出

A_(j;k)=1/(g^(kk))(partialA_j)/(partialx_k)-Gamma_(jk)^iA_i,
(48)

是

A_(r;r)=(partialA_r)/(partialr)
(49)
A_(r;theta)=1/r(partialA_r)/(partialtheta)-(A_theta)/r
(50)
A_(r;z)=(partialA_r)/(partialz)
(51)
A_(theta;r)=(partialA_theta)/(partialr)
(52)
A_(theta;theta)=1/r(partialA_theta)/(partialtheta)+(A_r)/r
(53)
A_(theta;z)=(partialA_theta)/(partialz)
(54)
A_(z;r)=(partialA_z)/(partialr)
(55)
A_(z;theta)=1/r(partialA_z)/(partialtheta)
(56)
A_(z;z)=(partialA_z)/(partialz).
(57)

坐标轴的叉积是

r^^xz^^=-theta^^
(58)
theta^^xz^^=r^^
(59)
r^^xtheta^^=z^^.
(60)

对易系数由下式给出

c_(alphabeta)^mue^->_mu=[e^->_alpha,e^->_beta]=del _alphae^->_beta-del _betae^->_alpha,
(61)

但是

[r^^,r^^]=[theta^^,theta^^]=[phi^^,phi^^]=0,
(62)

所以 c_(rr)^alpha=c_(thetatheta)^alpha=c_(phiphi)^alpha=0, 其中 alpha=r,theta,phi。 同样

[r^^,theta^^]=-[theta^^,r^^]=del _rtheta^^-del _thetar^^=0-1/rtheta^^=-1/rtheta^^,
(63)

所以 c_(rtheta)^theta=-c_(thetar)^theta=-1/r, c_(rtheta)^r=c_(rtheta)^phi=0。 最后，

[r^^,phi^^]=[theta^^,phi^^]=0.
(64)

总结，

c^r=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]
(65)
c^theta=[0 -1/r 0; 1/r 0 0; 0 0 0]
(66)
c^phi=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0].
(67)

向量的时间导数是

r^.=[costhetar^.-rsinthetatheta^.; sinthetar^.+rcosthetatheta^.; z^.]=r^.r^^+rtheta^.theta^^+z^.z^^
(68)
r^..=[-sinthetar^.theta^.+costhetar^..-sinthetar^.theta^.-rcosthetatheta^.^2-rsinthetatheta^..; costhetar^.theta^.+sinthetar^..+costhetar^.theta^.-rsinthetatheta^.^2+rcosthetatheta^..; z^..]
(69)
(70)
=[-2sinthetar^.theta^.+costhetar^..-rcosthetatheta^.^2-rsinthetatheta^..; 2costhetar^.theta^.+sinthetar^..-rsinthetatheta^.^2+rcosthetatheta^..; z^..]
(71)
=(r^..-rtheta^.^2)r^^+(2r^.theta^.+rtheta^..)theta^^+z^..z^^.
(72)

速度由下式给出

v=|r^.|
(73)
=sqrt(r^.^2+r^2theta^.^2+z^.^2).
(74)

单位向量的时间导数是

r^^^.=[-sinthetatheta^.; costhetatheta^.; 0]
(75)
=theta^.theta^^
(76)
theta^^^.=[-costhetatheta^.; -sinthetatheta^.; 0]
(77)
=-theta^.r^^
(78)
z^^^.=[0; 0; 0]
(79)
=0.
(80)

对流导数是

(Dr^.)/(Dt)=(partial/(partialt)+r^.·del )r^.
(81)
=(partialr^.)/(partialt)+r^.·del r^..
(82)

为了重写这个，使用恒等式

del (A·B)=Ax(del xB)+Bx(del xA)+(A·del )B+(B·del )A
(83)

并设置 A=B, 得到

del (A·A)=2Ax(del xA)+2(A·del )A,
(84)

所以

(A·del )A=del (1/2A^2)-Ax(del xA).
(85)

然后

(Dr^.)/(Dt)=r^..+del (1/2r^.^2)-r^.x(del xr^.)
(86)
=r^..+(del xr^.)xr^.+del (1/2r^.^2).
(87)

上面表达式中的旋度给出

del xr^.=1/rpartial/(partialr)(r^2theta^.)z^^
(88)
=2theta^.z^^,
(89)

所以

-r^.x(del xr^.)=-2theta^.(r^.r^^xz^^+rtheta^.theta^^xz^^)
(90)
=-2theta^.(-r^.theta^^+rtheta^.r^^)
(91)
=2r^.theta^.theta^^-2rtheta^.^2r^^.
(92)

我们期望梯度项消失，因为速度不依赖于位置。 使用恒等式 del (f^2)=2fdel f 检查这一点，

del (1/2r^.^2)=1/2del (r^.^2+r^2theta^.^2+z^.^2)
(93)
=r^.del r^.+rtheta^.del (rtheta^.)+z^.del z^..
(94)

逐项检查这个项，

r^.del r^.=r^.partial/(partialt)del r
(95)
=r^.partial/(partialt)r^^
(96)
=r^.r^^^.
(97)
=r^.theta^.theta^^
(98)
rtheta^.del (rtheta^.)=rtheta^.[rpartial/(partialt)del theta+theta^.del r]
(99)
=rtheta^.[rpartial/(partialt)(1/rtheta^^)+theta^.r^^]
(100)
=rtheta^.[r(-1/(r^2)r^.theta^^+1/rtheta^^^.)+theta^.r^^]
(101)
=-theta^.r^.theta^^+rtheta^.(-theta^.r^^)+rtheta^.^2r^^
(102)
=-theta^.r^.theta^^
(103)
z^.del z^.=z^.partial/(partialt)del z
(104)
=z^.partial/(partialt)z^^
(105)
=z^.z^^^.
(106)
=0,
(107)

所以，正如预期的那样，

del (1/2r^.^2)=0.
(108)

我们已经计算了 r^.., 因此结合所有三部分得到

(Dr^.)/(Dt)=(r^..-rtheta^.^2-2rtheta^.^2)r^^+(2r^.theta^.+2r^.theta^.+rtheta^..)theta^^+z^..z^^
(109)
(110)
=(r^..-3rtheta^.^2)r^^+(4r^.theta^.+rtheta^..)theta^^+z^..z^^.
(111)

散度是

del ·A=A_(;r)^r=A_(,r)^r+(Gamma_(rr)^rA^t+Gamma_(thetar)^rA^theta+Gamma_(zr)^rA^z)+A_(,theta)^theta+(Gamma_(rtheta)^thetaA^r+Gamma_(thetatheta)^thetaA^theta+Gamma_(ztheta)^thetaA^z)+A_(,z)^z+(Gamma_(rz)^zA^r+Gamma_(thetaz)^zA^theta+Gamma_(zz)^zA^z)
(112)
=A_(,r)^r+A_(,theta)^theta+A_(,z)^z+(0+0+0)+(1/r+0+0)+(0+0+0)
(113)
=1/(g_r)partial/(partialr)A^r+1/(g_theta)partial/(partialtheta)A^theta+1/(g_z)partial/(partialz)A^z+1/rA^r
(114)
=(partial/(partialr)+1/r)A^r+1/rpartial/(partialtheta)A^theta+partial/(partialz)A^z,
(115)

或者，在向量表示法中

del ·F=1/rpartial/(partialr)(rF_r)+1/r(partialF_theta)/(partialtheta)+(partialF_z)/(partialz).
(116)

旋度是

del xF=(1/r(partialF_z)/(partialtheta)-(partialF_theta)/(partialz))r^^+((partialF_r)/(partialz)-(partialF_z)/(partialr))theta^^+1/r[partial/(partialr)(rF_theta)-(partialF_r)/(partialtheta)]z^^.
(117)

标量拉普拉斯算子是

del ^2f=1/rpartial/(partialr)(r(partialf)/(partialr))+1/(r^2)(partial^2f)/(partialtheta^2)+(partial^2f)/(partialz^2)
(118)
=(partial^2f)/(partialr^2)+1/r(partialf)/(partialr)+1/(r^2)(partial^2f)/(partialtheta^2)+(partial^2f)/(partialz^2).
(119)

向量拉普拉斯算子是

del ^2v=[(partial^2v_r)/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_r)/(partialtheta^2)+(partial^2v_r)/(partialz^2)+1/r(partialv_r)/(partialr)-2/(r^2)(partialv_theta)/(partialtheta)-(v_r)/(r^2); (partial^2v_theta)/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_theta)/(partialtheta^2)+(partial^2v_theta)/(partialz^2)+1/r(partialv_theta)/(partialr)+2/(r^2)(partialv_r)/(partialtheta)-(v_theta)/(r^2); (partial^2v_z)/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_z)/(partialtheta^2)+(partial^2v_z)/(partialz^2)+1/r(partialv_z)/(partialr)].
(120)

亥姆霍兹微分方程在圆柱坐标中是可分离的，并且具有Stäckel 行列式 S=1 (对于 r, theta, z) 或 S=1/(1-xi_2^2) (对于 Morse 和 Feshbach 的 xi_1, xi_2, 和 xi_3)。

另请参阅

笛卡尔坐标, 椭圆柱坐标, 亥姆霍兹微分方程--圆柱坐标, 极坐标, 球坐标

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参考文献

Arfken, G. "圆柱坐标。" §2.4 in 物理学家的数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 95-101, 1985.Beyer, W. H. CRC 数学标准表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.Korn, G. A. 和 Korn, T. M. 科学家和工程师数学手册。 New York: McGraw-Hill, 1968.Misner, C. W.; Thorne, K. S.; 和 Wheeler, J. A. 引力。 San Francisco: W. H. Freeman, 1973.Moon, P. 和 Spencer, D. E. "圆柱坐标 (r,psi,z)。" 表 1.02 in 场论手册，包括坐标系、微分方程及其解，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 12-17, 1988.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, p. 657, 1953.Walton, J. J. "计算机上的张量计算：附录。" Comm. ACM 10, 183-186, 1967.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

圆柱坐标

请引用为

Weisstein, Eric W. "圆柱坐标。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CylindricalCoordinates.html

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