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在一个1825年的算额问题中，提出了求半径为
且与半径为
的球体内切的圆柱体的侧面表面积的问题。
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确定解决方案的最简单方法是解以下联立方程
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(1)
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![y^2+[z-(R-r)]^2=r^2](/images/equations/Cylinder-SphereIntersection/NumberedEquation2.svg) |
(2)
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求解
和
,
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(3)
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(4)
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这些给出了在这种情况下（左图）维维亚尼曲线的参数方程。然后可以通过构造一系列弯曲的线段（右图）找到表面积。圆柱体表面在高度为
处的弧长元素由下式给出
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(5)
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(6)
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然后，表面积的四分之一为
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(7)
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(8)
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(9)
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其中需要小心处理下限，
 |  | ![lim_(r^'->r^-)4r[sqrt(r(R-r))-sqrt((R-r)(r-r^'))]](/images/equations/Cylinder-SphereIntersection/Inline29.svg) |
(10)
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(11)
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总表面积为
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(12)
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Rothman (1998) 通过更迂回的几何论证获得的结果。（请注意，Rothman 原文发表的答案不正确；更正后的答案已发布在文章的 Internet 版本上。）
