球坐标

球坐标，也称为球极坐标（Walton 1967, Arfken 1985），是一种曲线坐标系，自然用于描述球体或椭球体上的位置。定义为 -平面内从 x轴开始的方位角，其中（当被称为经度时，记为），为从正 z轴开始的极角（也称为天顶角和余纬度，其中，为纬度），其中，为从点到原点的距离（半径）。这是数学中常用的约定。

在这项工作中，遵循数学惯例，径向、方位角和天顶角坐标的符号分别取为、和。请注意，此定义提供了常用极坐标符号的逻辑扩展，其中仍然是 -平面内的角，而成为该平面外的角。在这项工作中，此约定的唯一例外是在球谐函数中，其中保留了物理文献中使用的约定（希望这比愚蠢的严格一致性可能产生的混乱要少一些）。

不幸的是，符号和的含义和列出顺序都相反的约定也很常用，尤其是在物理学中。这尤其令人困惑，因为相同的符号通常对数学家来说意味着（径向，方位角，极角），但对物理学家来说意味着（径向，极角，方位角）。符号有时也用于代替，代替，以及和代替。下表总结了不同作者使用的一些约定。因此，查阅文献时需要格外小心。

顺序	符号	参考
（径向，方位角，极角）		本工作
（径向，方位角，极角）		Apostol (1969, p. 95), Anton (1984, p. 859), Beyer (1987, p. 212)
（径向，极角，方位角）		`SphericalPlot3D`在 Wolfram 语言中
（径向，极角，方位角）		ISO 31-11, Misner et al. (1973, p. 205)
（径向，极角，方位角）		Arfken (1985, p. 102)
（径向，极角，方位角）		Moon and Spencer (1988, p. 24)
（径向，极角，方位角）		Korn and Korn (1968, p. 60), Bronshtein et al. (2004, pp. 209-210)
（径向，极角，方位角）		Zwillinger (1996, pp. 297-299)

球坐标与笛卡尔坐标的关系为

			(1)
			(2)
			(3)

其中，，以及，并且必须适当定义反正切以考虑的正确象限。

用笛卡尔坐标表示，

			(4)
			(5)
			(6)

比例因子为

			(7)
			(8)
			(9)

因此，度量系数为

			(10)
			(11)
			(12)

线元素为

(13)

面积元素

(14)

和体积元素

(15)

雅可比行列式为

(16)

径向向量为

r=[rcosthetasinphi; rsinthetasinphi; rcosphi],

(17)

因此，单位向量为

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)

单位向量的导数为

			(24)
			(25)
			(26)
			(27)
			(28)
			(29)
			(30)
			(31)
			(32)

梯度为

(33)

及其分量为

			(34)
			(35)
			(36)
			(37)
			(38)
			(39)
			(40)
			(41)
			(42)

（Misner et al. 1973, p. 213，但他们使用符号约定）。

Misner et al. (1973, p. 209) 定义的第二类克里斯托费尔符号由下式给出

			(43)
			(44)
			(45)

（Misner et al. 1973, p. 213，但他们使用符号约定）。Arfken (1985) 定义的第二类克里斯托费尔符号由下式给出

			(46)
			(47)
			(48)

（Walton 1967；Moon and Spencer 1988, p. 25a；但他们都使用符号约定）。

散度为

(49)

或者，用向量表示法，

			(50)
			(51)

协变导数由下式给出

(52)

因此

			(53)
			(54)
			(55)
			(56)
			(57)
			(58)
			(59)
			(60)
			(61)

对易系数由下式给出

(62)

(63)

因此，其中。

(64)

因此，。

(65)

因此。

(66)

因此

(67)

总结，

			(68)
			(69)
			(70)

径向向量的时间导数为

			(71)
			(72)
			(73)

因此，速度由下式给出

(74)

加速度为

			(75)
			(76)
			(77)
			(78)
			(79)
			(80)

将这些代入得到

(r^..-rphi^.^2)[costhetasinphi; sinthetasinphi; cosphi]+(2rcosphitheta^.phi^.+2sinphitheta^.r^.+rsinphitheta^..)[-sintheta; costheta; 0]+(2r^.phi^.+rphi^..)[costhetacosphi; sinthetacosphi; -sinphi]-rsinphitheta^.^2[costheta; sintheta; 0],

(81)

但是

			(82)
			(83)

因此

			(84)
			(85)

单位向量的时间导数为

			(86)
			(87)
			(88)

旋度为

(89)

拉普拉斯算子为

			(90)
			(91)
			(92)

球坐标中的向量拉普拉斯算子由下式给出

del ^2v=[1/r(partial^2(rv_r))/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_r)/(partialtheta^2)+1/(r^2sin^2theta)(partial^2v_r)/(partialphi^2)+(cottheta)/(r^2)(partialv_r)/(partialtheta)-2/(r^2)(partialv_theta)/(partialtheta)-2/(r^2sintheta)(partialv_phi)/(partialphi)-(2v_r)/(r^2)-(2cottheta)/(r^2)v_theta
1/r(partial^2(rv_(theta)))/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_(theta))/(partialtheta^2)+1/(r^2sin^2theta)(partial^2v_(theta))/(partialphi^2)+(cottheta)/(r^2)(partialv_(theta))/(partialtheta)-2/(r^2)(cottheta)/(sintheta)(partialv_(phi))/(partialphi)+2/(r^2)(partialv_r)/(partialtheta)-(v_(theta))/(r^2sin^2theta)
1/r(partial^2(rv_(phi)))/(partialr^2)+1/(r^2)(partial^2v_(phi))/(partialtheta^2)+1/(r^2sin^2theta)(partial^2v_(phi))/(partialphi^2)+(cottheta)/(r^2)(partialv_(phi))/(partialtheta)+2/(r^2sintheta)(partialv_r)/(partialphi)+(2cottheta)/(r^2sintheta)(partialv_(theta))/(partialphi)-(v_(phi))/(r^2sin^2theta) ].

(93)

为了用球坐标的偏导数表示关于笛卡尔轴的偏导数，

			(94)
			(95)
			(96)

反演后，结果是

[dr; dtheta; dphi]=[costhetasinphi sinthetasinphi cosphi; -(sintheta)/(rsinphi) (costheta)/(rsinphi) 0; (costhetacosphi)/r (sinthetacosphi)/r -(sinphi)/r][dx; dy; dz].

(97)

因此，球坐标中的笛卡尔偏导数为

			(98)
			(99)
			(100)

（Gasiorowicz 1974, pp. 167-168; Arfken 1985, p. 108）。

亥姆霍兹微分方程在球坐标中是可分离的。

另请参阅

方位角, 余纬度, 大圆, 亥姆霍兹微分方程--球坐标, 纬度, 经度, 扁球面坐标, 极角, 极坐标, 极坐标图, 极向量, 长球面坐标, 天顶角在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考资料

Anton, H. Calculus with Analytic Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1984.Apostol, T. M. Calculus, 2nd ed., Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability. Waltham, MA: Blaisdell, 1969.Arfken, G. "Spherical Polar Coordinates." §2.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 102-111, 1985.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, G.; and Muehlig, H. Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag, 2004.Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, 1974.Korn, G. A. and Korn, T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1968.Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1973.Moon, P. and Spencer, D. E. "Spherical Coordinates

." Table 1.05 in Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 24-27, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 658, 1953.Walton, J. J. "Tensor Calculations on Computer: Appendix." Comm. ACM 10, 183-186, 1967.Zwillinger, D. (Ed.). "Spherical Coordinates in Space." §4.9.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 297-298, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上引用

球坐标

引用为

Weisstein, Eric W. "球坐标。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SphericalCoordinates.html

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