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扁球面

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OblateSpheroid

扁球面是一种“压扁的”球面体，其赤道半径 a 大于极半径 c，因此 a>c（Tietze 1965，第 27 页称之为扁椭球体）。 扁球面是通过绕椭圆的短轴旋转而获得的旋转曲面（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 10 页）。 在第一近似中，旋转流体（包括地球，在天文时间尺度上地球是“流体”）呈现的形状是扁球面。

对于一个以 z 轴 为对称轴的球面体，其笛卡尔坐标方程为

(x^2+y^2)/(a^2)+(z^2)/(c^2)=1.
(1)

扁球面的离心率定义为

e=sqrt(1-(c^2)/(a^2)).
(2)

扁球面的表面积可以计算为绕 z 轴 的旋转曲面，

S=2piintr(z)sqrt(1+[r^'(z)]^2)dz
(3)

半径是 z 的函数，由下式给出

r(z)=asqrt(1-(z/c)^2).
(4)

因此

S=2piaint_(-c)^csqrt(1+((a-c)(a+c)z^2)/(c^4))dz
(5)
=2pia[a+(c^2csch^(-1)(c/(sqrt(a^2-c^2))))/(sqrt(a^2-c^2))]
(6)
=(2pi)/(sqrt(a^2-c^2))[a^2sqrt(a^2-c^2)+ac^2ln((a+sqrt(a^2-c^2))/c)]
(7)
=pi/(sqrt(a^2-c^2))[2a^2sqrt(a^2-c^2)+ac^2ln((a+sqrt(a^2-c^2))/(a-sqrt(a^2-c^2)))],
(8)

最后一步使用了对数恒等式

log((a+sqrt(a^2-c^2))/c)=1/2log((a+sqrt(a^2-c^2))/(a-sqrt(a^2-c^2)))
(9)

对于 0<c<a 有效。 用离心率重新表示，则得到

sqrt(a^2-c^2)=ae,
(10)

得出特别简单的形式

S=2pia^2+pi(c^2)/eln((1+e)/(1-e))
(11)

（Beyer 1987，第 131 页）。 另一种等效形式由下式给出

S=2pia^2-(2piiac^2)/(sqrt(a^2-c^2))cos^(-1)(a/c).
(12)

表面积也可以直接从第一基本形式的系数计算得出，如下所示

S=int_0^(2pi)int_0^pisqrt(EG-F^2)dvdu
(13)
=(2pia)/(sqrt(2))int_0^pisqrt(a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2v))sinv.
(14)

请注意，这是书写扁球面表面积的常规形式，尽管它在形式上等同于长球面的常规形式，通过恒等式

(c^2pi)/(e(c,a))ln[(1+e(c,a))/(1-e(c,a))]=(2piac)/(e(a,c))sin^(-1)[e(a,c)],
(15)

其中 e(x,y) 由下式定义

e(x,y)=sqrt(1-(x^2)/(y^2)).
(16)

另请参阅

苹果曲面, 胶囊, 达尔文-德西特球面体, 椭球体, 椭圆率, 扁率, 扁球面坐标, 长球面, 球体, 球面体, 超椭球, 超椭圆

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学手册，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987 年。Hilbert, D. 和 Cohn-Vossen, S. 几何与想象。 New York: Chelsea, p. 10, 1999 年。Tietze, H. 数学名题：从古代到现代已解决和未解决的数学问题。 New York: Graylock Press, p. 27, 1965 年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

扁球面

请引用为

Weisstein, Eric W. “扁球面。” 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/OblateSpheroid.html

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