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圆锥-球体相交

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ConeSphereIntersection
ConeSphereIntersectionCurv

设一个开口参数为 c 且顶点位于 (0,0,0) 的圆锥与一个半径为 r 且中心位于 (x_0,y_0,z_0) 的球体相交，其中圆锥的轴线不通过球体的中心。则交线的方程为

(x^2+y^2)/(c^2)=z^2
(1)
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.
(2)

结合 (1) 和 (2) 得到

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(x^2+y^2)/(c^2)-(2z_0)/csqrt(x^2+y^2)+z_0^2=r^2
(3)
x^2(1+1/(c^2))-2x_0x+y^2(1+1/(c^2))-2y_0y+(x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2)-(2z_0)/csqrt(x^2+y^2)=0.
(4)

因此，x 和 y 通过一个复杂的四次方程相联系，而 x、y 和 z 通过一个二次方程相联系。

如果圆锥-球体相交是轴向的，即一个开口参数为 c 且顶点位于 (0,0,z_0) 的圆锥的轴线沿着球体的半径方向，该球体的半径为 r 且中心位于 (0,0,0)，则交线的方程为

(z-z_0)^2=(x^2+y^2)/(c^2)
(5)
x^2+y^2+z^2=r^2.
(6)

结合 (5) 和 (6) 得到

c^2(z-z_0)^2+z^2=r^2
(7)
c^2(z^2-2z_0z+z_0^2)+z^2=r^2
(8)
z^2(c^2+1)-2c^2z_0z+(z_0^2c^2-r^2)=0.
(9)

使用二次方程得到

z=(2c^2z_0+/-sqrt(4c^4z_0^2-4(c^2+1)(z_0^2c^2-r^2)))/(2(c^2+1))
(10)
=(c^2z_0+/-sqrt(c^2(r^2-z_0^2)+r^2))/(c^2+1).
(11)

因此，交线是平面的。将 (11) 代入 (◇) 表明该曲线实际上是一个圆，其半径由下式给出

a=sqrt(r^2-z^2).
(12)

参见

圆锥, 球体

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参考文献

Kenison, E. 和 Bradley, H. C. 画法几何。 New York: Macmillan, pp. 282-283, 1935.

在 Wolfram|Alpha 中引用

圆锥-球体相交

请引用为

Weisstein, Eric W. "圆锥-球体相交。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cone-SphereIntersection.html

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