高斯曲率

高斯曲率，有时也称为总曲率 (Kreyszig 1991, p. 131)，是空间的一种内在属性，与描述它所用的坐标系无关。在 中，正则曲面上一点 的高斯曲率正式定义为

(1)

其中 是形状算子，det 表示行列式。

如果 是一个正则参数片，则高斯曲率由下式给出

(2)

其中 、 和 是第一基本形式的系数，、 和 是第二基本形式的系数 (Gray 1997, p. 377)。高斯曲率可以完全用第一基本形式表示

(3)

以及度量判别式

(4)

通过

(5)

其中 是第一类克里斯托费尔符号。等价地，

(6)

其中

			(7)
			(8)

展开后，

(9)

高斯曲率也由下式给出

(10)

(Gray 1997, p. 380)，以及

(11)

其中 是置换符号， 是单位法向量， 是单位切向量。高斯曲率也由下式给出

			(12)
			(13)
			(14)

其中 是标量曲率， 和 是主曲率， 和 是主曲率半径。对于 Monge 参数片 ，

(15)

由 隐式定义的曲面的高斯曲率由下式给出

(16)

(Trott 2004, pp. 1285-1286)。

高斯曲率 和平均曲率 满足

(17)

仅在脐点处等号成立，因为

(18)

如果 是 中正则曲面 上的点， 和 是 在 点的切向量，那么 在 点的高斯曲率与形状算子 的关系为

(19)

设 是 上的非零向量场，它处处垂直于 ，设 和 是 的切向量场，使得 ，则

(20)

(Gray 1997, p. 410)。

对于球面，高斯曲率为 。对于欧几里得空间，高斯曲率为 。对于高斯-波利亚伊-罗巴切夫斯基空间，高斯曲率为 。可展曲面是一种正则曲面和特殊的极小曲面，其高斯曲率处处为零。

正则曲面 中的点 根据 的符号进行分类，如下表所示 (Gray 1997, p. 375)，其中 是形状算子。

符号	点类型
	椭圆点
	双曲点
但	抛物点
且	平面点

高斯曲率 处处为正的曲面称为向弯曲面，而 处处为负的曲面称为背弯曲面。具有恒定高斯曲率的曲面包括锥面、柱面、Kuen 曲面、平面、伪球面和球面。其中，锥面和柱面是仅有的可展旋转曲面。