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椭球

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ellipsoid

一般椭球，也称为三轴椭球，是由二次曲面，其在笛卡尔坐标系中由下式给出

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1,
(1)

其中半轴的长度分别为 a、b 和 c。在球坐标系中，这变为

(r^2cos^2thetasin^2phi)/(a^2)+(r^2sin^2thetasin^2phi)/(b^2)+(r^2cos^2phi)/(c^2)=1.
(2)

Tietze（1965 年，第 28 页）将 a!=b!=c 的一般椭球称为“三轴椭球”。如果椭球的两个轴的长度相同，则该图形称为旋转椭球或球体。将球体的相等半轴长度表示为 a=b，称 a 为赤道半径，另一个半轴长度称为极半径 c。那么，如果 a>c，则球体称为扁球体，如果 a<c，则球体称为长球体。如果所有三个半轴长度都相同，即 a=b=c，则该椭球是一个球体。

每个椭球体中都有两个平行的圆形横截面族。然而，对于球体，这两者是重合的（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999 年，第 17-19 页）。如果通过适当选择的狭缝将两组圆固定在一起，使其可以自由旋转而不滑动，则该模型是可移动的。此外，这些圆盘始终可以移动成球体的形状（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999 年，第 18 页）。

1882 年，Staude 发现了一种椭球的“线”构造，类似于椭圆的拉紧铅笔和细绳构造（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999 年，第 19-22 页）。这种构造利用由椭圆和双曲线组成的固定框架。

椭球的参数方程可以写成

x=acosusinv
(3)
y=bsinusinv
(4)
z=ccosv.
(5)

对于 u in [0,2pi) 和 v in [0,pi]。

在此参数化中，第一基本形式的系数为

E=(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v
(6)
F=(b^2-a^2)cosusinucosvsinv
(7)
G=(a^2cos^2u+b^2sin^2u)cos^2v+c^2sin^2v,
(8)

以及第二基本形式的系数为

e=(abcsin^2v)/(sqrt(a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v))
(9)
f=0
(10)
g=(abc)/(sqrt(a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v)).
(11)

同样在此参数化中，高斯曲率为

K=(a^2b^2c^2)/([a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v]^2)
(12)

以及平均曲率为

H=(abc[3(a^2+b^2)+2c^2+(a^2+b^2-2c^2)cos(2v)-2(a^2-b^2)cos(2u)sin^2v])/(8[a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v]^(3/2)).
(13)

高斯曲率可以隐式地给出为

K(x,y,z)=(a^2b^6c^6)/([c^4b^4+c^4(a^2-b^2)y^2+b^4(a^2-c^2)z^2]^2)
(14)
=(a^6b^2c^6)/([a^4c^4+a^4(b^2-c^2)z^2+c^4(b^2-a^2)x^2]^2)
(15)
=(a^6b^6c^2)/([a^4b^4+b^4(c^2-a^2)x^2+a^4(c^2-b^2)y^2]^2).
(16)

椭球的表面积由下式给出

S=2piabnsthetaint_0^theta((dn^2theta)/(dn^2u)+(cn^2theta)/(cn^2u))du
(17)
=2pi[c^2+(bc^2)/(sqrt(a^2-c^2))theta+bsqrt(a^2-c^2)E(am(theta),k)],
(18)

其中 ns(theta)、dn(theta) 和 cn(theta) 是模量为 k 的 雅可比椭圆函数，

k=(e_2)/(e_1)
(19)
e_1=sqrt((a^2-c^2)/(a^2))
(20)
e_2=sqrt((b^2-c^2)/(b^2)),
(21)

E(phi,k) 是第二类不完全椭圆积分，am(phi) 是模量为 k 的雅可比振幅，theta 由反转表达式给出

e_1=sn(theta,k),
(22)

其中 sn(theta) 是另一个模量为 k 的 雅可比椭圆函数（Bowman 1961，第 31-32 页；已纠正错误）。

表面积方程的另一种形式是

S=2pi[c^2+(bc^2)/(sqrt(a^2-c^2))F(phi,k)+bsqrt(a^2-c^2)E(phi,k)],
(23)

其中

phi=sin^(-1)(sqrt(1-(c^2)/(a^2))).
(24)

表面积也可以直接从第一基本形式获得，如下所示

S=int_0^piint_0^(2pi)sqrt(EG-F^2)dthetadphi
(25)
=int_0^pisinphiint_0^(2pi)sqrt(a^2b^2cos^2phi+c^2(b^2cos^2theta+a^2sin^2theta)sin^2phi)dthetadphi
(26)
=2sqrt(2)bint_0^pisqrt(a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2phi))sinphi×E(c/bsqrt((2(b^2-a^2))/(a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2phi)))sinphi)dphi.
(27)

椭球的另一种参数化是所谓的立体投影椭球，由参数方程给出

x(u,v)=(a(1-u^2-v^2))/(1+u^2+v^2)
(28)
y(u,v)=(2bu)/(1+u^2+v^2)
(29)
z(u,v)=(2cv)/(1+u^2+v^2).
(30)
EllipsoidMercator

第三种参数化是墨卡托参数化

x(u,v)=asechvcosu
(31)
y(u,v)=bsechvsinu
(32)
z(u,v)=ctanhv
(33)

（Gray 1997）。

椭球的支持函数是

h=((x^2)/(a^4)+(y^2)/(b^4)+(z^2)/(c^4))^(-1/2),
(34)

高斯曲率为高斯曲率是

K=(h^4)/(a^2b^2c^2)
(35)

（Gray 1997，第 296 页）。

由半轴长度为 a,b,c 的椭球所包围的固体的体积由下式给出

V=4/3piabc.
(36)

沿 x 轴、y 轴和 z 轴的实体半椭球的几何质心为

x^_=3/(16)a
(37)
y^_=3/(16)b
(38)
z^_=3/(16)c.
(39)

固体椭球的惯性张量由下式给出

I=[1/5M(b^2+c^2) 0 0; 0 1/5M(a^2+c^2) 0; 0 0 1/5M(a^2+b^2)].
(40)

另请参阅

共焦椭球坐标系、共焦二次曲面、凸优化理论、椭球堆积、Goursat 曲面、扁球体、长球体、球体、球体、超椭球体

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参考

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 131 and 226, 1987.Bowman, F. Introduction to Elliptic Functions, with Applications. New York: Dover, 1961.Fischer, G. (Ed.). Plate 65 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 60, 1986.Gray, A. "The Ellipsoid" and "The Stereographic Ellipsoid." §13.2 and 13.3 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 301-303, 1997.Harris, J. W. and Stocker, H. "Ellipsoid." §4.10.1 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 111, 1998.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Thread Construction of the Ellipsoid, and Confocal Quadrics." §4 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 19-25, 1999.JavaView. "Classic Surfaces from Differential Geometry: Ellipsoid." http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Ellipsoid.html.Tietze, H. Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. New York: Graylock Press, pp. 28 and 40-41, 1965.

请这样引用

Weisstein, Eric W. “椭球。”来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Ellipsoid.html

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