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Milnor (1956) 在七维超球面上发现了不止一种光滑结构。随后在其他维度中也发现了推广。使用手术理论，可以将奇异球体的微分同胚类的数量与球面的高阶同伦群联系起来 (Kosinski 1992)。
Kervaire 和 Milnor (1963) 计算了维度为 
的球体上不同（直到微分同胚）微分结构的数目 
的列表。对于 
, 2, ...，假设庞加莱猜想成立，它们是 1, 1, 1, 
, 1, 1, 28, 2, 8, 6, 992, 1, 3, 2, 16256, 2, 16, 16, ... (OEIS A001676)。
的状态仍未解决，并且尚不清楚 4 维球面上是否存在 1 个、超过 1 个还是无限多个光滑结构 (Scorpan 2005)。存在恰好一个光滑结构的说法被称为 
的光滑庞加莱猜想。
-球面 的流形。" 数学年刊 64, 399-405, 1956.Milnor, J. "拓扑流形和光滑流形。" In 国际数学家大会论文集（斯德哥尔摩，1962 年）。 Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 132-138, 1963.Milnor, J. W. 和 Stasheff, J. D. 特征类。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1973.Monastyrsky, M. 现代数学在菲尔兹奖章的光芒中。 Wellesley, MA: A K Peters, 1997.Novikov, S. P. (Ed.). 拓扑学 I。 New York: Springer-Verlag, 1996.Scorpan, A. 4-流形的狂野世界。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.Sloane, N. J. A. 序列 A001676/M5197 in "整数序列在线百科全书。"Whitney, H. "John W. Milnor 的工作。" In 国际数学家大会论文集。 斯德哥尔摩，pp. 48-50, 1962.Weisstein, Eric W. "奇异球体。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ExoticSphere.html